Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

38 Глава 2. Скалярная задача
Так как функции a и f являются неотрицательными (I
n
и K
n
—
положительны, K
n
(r) — строго монотонно возрастает по r согласно
замечанию 2.5), то y также является неотрицательной, т. е. I
n
(r) 6
K
n
(r).
Получим вторую оценку. Из рекуррентных соотношений
−K
′
n
(z) = K
n−1
(z) +
n
z
K
n
(z), −K
′
n
(z) = K
n+1
(z) −
n
z
K
n
(z)
следуют другие формулы для K
n
:
K
n
(z) = n + z
K
n−1
(z)
K
n
(z)
= −n + z
K
n+1
(z)
K
n
(z)
. (2.13)
Поскольку 0 < K
n−1
(r) < K
n
(r) при n > 1 и r > 0, то
n 6 K
n
(r) 6 n + r, K
n
(r) > r − n, n > 1, r ∈ R
+
.
Аналогичные рассуждения приводят к оценкам
I
n
(r) = n + r
I
n+1
(r)
I
n
(r)
> n, I
n
(r) = −n + r
I
n−1
(r)
I
n
(r)
> r −n,
т. к. I
n
(r) 6 I
n−1
(r) при n > 1. Следовательно,
K
n
(r) 6 n + r 6 2n + I
n
(r) 6 3 I
n
(r), n = 1, 2, . . .
Нетрудно убедиться, что функция
C
0
(r) :=
K
0
(r)
I
0
(r)
=
K
1
(r)
K
0
(r)
I
0
(r)
I
1
(r)
строго убывает на (0, ∞) (каждая дробь убывает по r) и C
0
(r) → +∞
при r → +0, C
0
(r) → 1 при r → +∞. Полагая c
2
0
(r) = max{C
0
(r), 3},
получим искомую оценку K
n
(r) 6 c
2
0
(r) I
n
(r), n > 0, r ∈ (0, ∞).
Замечание 2.6. Функции K
n
(r)/I
n
(r) для ряда значений n изображены на пра-
вом рисунке 2. При больших значениях r они монотонно стремятся к единице, сохраняя
порядок. Из графиков следует, что c
2
0
(r) = C
0
(r); C
0
(r) ≈ 2/
(
ln(1/r)r
2
)
при малых r.
Следствие 2.2. Нормы ∥·∥
1/2,Γ
и |u|
1/2,Γ
эквивалентны; точнее
∥u∥
1/2,Γ
6 |u|
1/2,Γ
6 c
0
∥u∥
1/2,Γ
, u ∈ H
1/2
(Γ).
Здесь постоянная c
0
:= c
0
(R
0
) зависит лишь от R
0
1)
.
1)
напомним, что Ω есть круг радиуса R > R
0
, Γ := ∂Ω.
38                                                           Глава 2. Скалярная задача


Так как функции a и f являются неотрицательными (In и Kn —
положительны, Kn (r) — строго монотонно возрастает по r согласно
замечанию 2.5), то y также является неотрицательной, т. е. In (r) 6
Kn (r).
    Получим вторую оценку. Из рекуррентных соотношений
                         n                             n
    −Kn′ (z) = Kn−1 (z) + Kn (z), −Kn′ (z) = Kn+1 (z) − Kn (z)
                         z                             z
следуют другие формулы для Kn :
                                       Kn−1 (z)          Kn+1 (z)
                     Kn (z) = n + z             = −n + z          .             (2.13)
                                        Kn (z)            Kn (z)
Поскольку 0 < Kn−1 (r) < Kn (r) при n > 1 и r > 0, то
             n 6 Kn (r) 6 n + r, Kn (r) > r − n,             n > 1, r ∈ R+ .
Аналогичные рассуждения приводят к оценкам
                           In+1 (r)                             In−1 (r)
          In (r) = n + r            > n,      In (r) = −n + r            > r − n,
                            In (r)                               In (r)
т. к. In (r) 6 In−1 (r) при n > 1. Следовательно,
               Kn (r) 6 n + r 6 2n + In (r) 6 3 In (r), n = 1, 2, . . .
Нетрудно убедиться, что функция
                                         K0 (r) K1 (r) I0 (r)
                             C0 (r) :=          =
                                         I0 (r)   K0 (r) I1 (r)
строго убывает на (0, ∞) (каждая дробь убывает по r) и C0 (r) → +∞
при r → +0, C0 (r) → 1 при r → +∞. Полагая c20 (r) = max{C0 (r), 3},
получим искомую оценку Kn (r) 6 c20 (r) In (r), n > 0, r ∈ (0, ∞). 
    Замечание 2.6. Функции Kn (r)/In (r) для ряда значений n изображены на пра-
вом рисунке 2. При больших значениях r они монотонно стремятся (     к единице,
                                                                         )      сохраняя
порядок. Из графиков следует, что c20 (r) = C0 (r); C0 (r) ≈ 2/ ln(1/r)r2 при малых r.

        Следствие 2.2. Нормы ∥ · ∥1/2,Γ и |u|1/2,Γ эквивалентны; точнее

                   ∥u∥1/2,Γ 6 |u|1/2,Γ 6 c0 ∥u∥1/2,Γ , u ∈ H 1/2 (Γ).
Здесь постоянная c0 := c0 (R0 ) зависит лишь от R0 1) .
  1)
       напомним, что Ω есть круг радиуса R > R0 , Γ := ∂Ω.

Страницы