Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 2. Скалярная задача
Определение 2.3. Функцию u
p
назовем метагармонической в
области D ⊂ R
2
, если −∆u
p
+ p
2
u
p
= 0 в D.
Определение 2.4. Функцию u
p
∈ H
1
(R
2
) назовем метагармо-
ническим продолжением функции u ∈ H
1
(Ω), если u
p
является мета-
гармонической в области Ω
∞
и u
p
Ω
= u.
Корректность этого определения вытекает из следующей леммы.
Лемма 2.4. Метагармоническое продолжение u
p
произвольной
функции u ∈ H
1
(Ω) существует, единственно и
∥u
p
∥
1,R
2
6 c(p)∥u∥
1,Ω
,
где c — локально ограниченная функция на (0, ∞). Кроме того, сим-
метричная неотрицательная форма
s
∞
(p, u, v) :=
∫
Ω
∞
(
∇u
p
· ∇v
p
+ p
2
u
p
v
p
)
dx, u, v ∈ H
1
(Ω),
совпадает с формой (2.8) и является ограниченной на H
1
(Ω):
0 6 s
∞
(p, u, u) 6 M
s
(p)∥u∥
2
1,Ω
, M
s
(p) := c
2
0
(R
0
) 1
p
. (2.18)
Доказательство. Определим на H
1
(Ω
∞
) функционал
|u|
2
1,p
:=
∫
Ω
∞
(|∇u|
2
+ p
2
u
2
) dx.
По определению −△u
p
+ p
2
u
p
= 0 в Ω
∞
, u
p
Γ
= u. Поэтому u
p
Ω
∞
является решением задачи минимизации
|u
p
|
2
1,p
= min
v∈H
1
(Ω
∞
):v|
Γ
=u
|v|
2
1,p
.
Хорошо известно, что решение этой задачи существует и единственно,
поскольку квадратичный функционал u → |u|
2
1,p
является ограничен-
ным и коэрцитивным:
1
p
∥u∥
2
1,Ω
∞
6 |u|
2
1,p
6 1
p
∥u∥
2
1,Ω
∞
.
42                                                                Глава 2. Скалярная задача


   Определение 2.3. Функцию up назовем метагармонической в
области D ⊂ R2 , если −∆up + p2 up = 0 в D.
   Определение 2.4. Функцию up ∈ H 1 (R2 ) назовем метагармо-
ническим продолжением функции u ∈ H 1 (Ω), если up является мета-
гармонической в области Ω∞ и up Ω = u.
     Корректность этого определения вытекает из следующей леммы.
   Лемма 2.4. Метагармоническое продолжение up произвольной
функции u ∈ H 1 (Ω) существует, единственно и

                           ∥up ∥1,R2 6 c(p)∥u∥1,Ω ,

где c — локально ограниченная функция на (0, ∞). Кроме того, сим-
метричная неотрицательная форма
                       ∫
                         (                     )
       s∞ (p, u, v) :=     ∇up · ∇vp + p2 up vp dx, u, v ∈ H 1 (Ω),
                      Ω∞

совпадает с формой (2.8) и является ограниченной на H 1 (Ω):

       0 6 s∞ (p, u, u) 6 Ms (p)∥u∥21,Ω ,            Ms (p) := c20 (R0 ) 1p .         (2.18)

     Доказательство. Определим на H 1 (Ω∞ ) функционал
                          ∫
                 |u|1,p := (|∇u|2 + p2 u2 ) dx.
                    2

                                 Ω∞

По определению −△up + p2 up = 0 в Ω∞ , up                          Γ
                                                                         = u. Поэтому up   Ω∞
является решением задачи минимизации

                       |up |21,p =         min               |v|21,p .
                                     v∈H 1 (Ω   ∞ ):v|Γ =u


Хорошо известно, что решение этой задачи существует и единственно,
поскольку квадратичный функционал u → |u|21,p является ограничен-
ным и коэрцитивным:

                     1p ∥u∥21,Ω∞ 6 |u|21,p 6 1p ∥u∥21,Ω∞ .

Страницы