Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 2. Скалярная задача
Пусть ϱ
n
(p) := K
n
(Rp)/K
n
(pR
0
). Имеем ϱ
n
(p) = ϱ
−n
(p) > 0. Исполь-
зуя асимптотики (2.12) функций Бесселя, нетрудно вычислить, что
ϱ
n
(0) = (R
0
/R)
|n|
. Учтем, что ϱ
′
n
(p) = (K
n
(R
0
p)−K
n
(Rp))ϱ
n
(p)/p 6 0,
поскольку функция r → K
n
(r) — возрастающая. Поэтому 0 <
ϱ
n
(p) 6 ϱ
n
(0) = (R
0
/R)
|n|
при всех n.
Рассмотрим теперь равенство (2.19) в точках r = R и заметим, что
ряд, в силу равенства Парсеваля (см. (2.9)), равномерно сходится на
[0, 2π). Умножим обе его части на e
−ikφ
/2π и проинтегрируем по φ ∈
[0, 2π). В результате получим a
k
(u|
∂B
R
) = ϱ
k
(p)a
k
(u|
∂B
R
0
) при всех k.
Отсюда следует искомая оценка: |a
k
(u|
∂B
R
)| 6 (R
0
/R)
|k|
|a
k
(u|
∂B
R
0
)|.
Случай гармонической функции u рассматривается аналогично.
В этом случае в формуле (2.19) множитель K
n
(pr)/K
n
(pR
0
) доста-
точно заменить на (R
0
/r)
|n|
.
1.5. Второй метод.
Приведем прямое доказательство эквивалентности задач (P
∞
) и (P).
Теорема 2.9. Задачи (P
∞
) и (P) эквивалентны в следующем
смысле. Если (β, k, u) — решение задачи (P
∞
), то (β, p, u|
Ω
) — ре-
шение задачи (P) при p = (β
2
− ε
∞
k
2
)
1/2
. Обратно: если (β, p, u)
— решение задачи (P), то (β, k, u
p
) — решение задачи (P
∞
), где
k = ((β
2
− p
2
)/ε
∞
)
1/2
, u
p
— метагармоническое продолжение u.
Доказательство. Пусть (β, k, u) удовлетворяет тождеству (P
∞
).
Определим число p согласно (2.4). Тогда (β, p) ∈ K, поскольку
(β, k) ∈ Λ. Запишем тождество (P
∞
) в следующем виде:
∫
Ω
(∇u ·∇v + β
2
uv) dx +
∫
Ω
∞
(∇u ·∇v + p
2
uv) dx = k
2
∫
Ω
εuv dx. (2.20)
Здесь v произвольная функция из H
1
(R
2
). Заметим, что если принять
v = 0 в области Ω, то получим тождество
∫
Ω
∞
(∇u · ∇v + p
2
uv) dx = 0 ∀v ∈ H
1
0
(Ω
∞
).
Следовательно, u является метагармонической в Ω
∞
(см. следствие
2.4) и u = u
p
. Ограничимся в (2.20) только такими v ∈ H
1
(R
2
), что
44                                               Глава 2. Скалярная задача


Пусть ϱn (p) := Kn (Rp)/Kn (pR0 ). Имеем ϱn (p) = ϱ−n (p) > 0. Исполь-
зуя асимптотики (2.12) функций Бесселя, нетрудно вычислить, что
ϱn (0) = (R0 /R)|n| . Учтем, что ϱ′n (p) = (Kn (R0 p)−Kn (Rp))ϱn (p)/p 6 0,
поскольку функция r → Kn (r) — возрастающая. Поэтому 0 <
ϱn (p) 6 ϱn (0) = (R0 /R)|n| при всех n.
     Рассмотрим теперь равенство (2.19) в точках r = R и заметим, что
ряд, в силу равенства Парсеваля (см. (2.9)), равномерно сходится на
[0, 2π). Умножим обе его части на e−ikφ /2π и проинтегрируем по φ ∈
[0, 2π). В результате получим ak (u|∂BR ) = ϱk (p)ak (u|∂BR0 ) при всех k.
Отсюда следует искомая оценка: |ak (u|∂BR )| 6 (R0 /R)|k| |ak (u|∂BR0 )|.
     Случай гармонической функции u рассматривается аналогично.
В этом случае в формуле (2.19) множитель Kn (pr)/Kn (pR0 ) доста-
точно заменить на (R0 /r)|n| . 

1.5. Второй метод.

Приведем прямое доказательство эквивалентности задач (P∞ ) и (P).
   Теорема 2.9. Задачи (P∞ ) и (P) эквивалентны в следующем
смысле. Если (β, k, u) — решение задачи (P∞ ), то (β, p, u|Ω ) — ре-
шение задачи (P) при p = (β 2 − ε∞ k 2 )1/2 . Обратно: если (β, p, u)
— решение задачи (P), то (β, k, up ) — решение задачи (P∞ ), где
k = ((β 2 − p2 )/ε∞ )1/2 , up — метагармоническое продолжение u.
    Доказательство. Пусть (β, k, u) удовлетворяет тождеству (P∞ ).
Определим число p согласно (2.4). Тогда (β, p) ∈ K, поскольку
(β, k) ∈ Λ. Запишем тождество (P∞ ) в следующем виде:
 ∫                         ∫                          ∫
    (∇u · ∇v + β 2 uv) dx + (∇u · ∇v + p2 uv) dx = k 2 εuv dx. (2.20)
 Ω                         Ω∞                            Ω

Здесь v произвольная функция из H 1 (R2 ). Заметим, что если принять
v = 0 в области Ω, то получим тождество
             ∫
               (∇u · ∇v + p2 uv) dx = 0 ∀ v ∈ H01 (Ω∞ ).
             Ω∞

Следовательно, u является метагармонической в Ω∞ (см. следствие
2.4) и u = up . Ограничимся в (2.20) только такими v ∈ H 1 (R2 ), что

Страницы