Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Существование и свойства решений 47
Здесь D
α
обозначает обобщенную производную порядка α = (α
1
, α
2
),
D
α
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
, |α| = α
1
+ α
2
, α
1
, α
2
> 0, D
(0,0)
u = u.
При 1 6 p < ∞ пространство W
k
p
(D) оснащается нормой
∥u∥
k,p,D
=
(
∑
|α|6k
∫
D
|D
α
u|
p
dx
)
1/p
,
для полунорм используются обозначения
|u|
s,p,D
=
(
∑
|α|=s
∫
D
|D
α
u|
p
dx
)
1/p
, 0 6 s 6 k.
При p = 2 используются сокращения: H
k
(D) = W
k
2
(D),
∥u∥
k,D
= ∥u∥
k,2,D
, |u|
s,D
= |u|
s,2,D
.
Определим, наконец, пространство W
k
∞
(D) — пространство (k − 1)-
раз непрерывно-дифференцируемых в D функций, производные k −1
порядка которых удовлетворяют в D условию Липшица. Норма в нем
∥u∥
k,∞,D
=
∑
|α|6k
|D
α
u|
0,∞,D
.
Пространства Соболева подробно описаны в книгах [26], [27].
§ 2. Существование и свойства решений
Задачу (P) (см. замечание 2.4) далее будем рассматривать как
параметрическую задачу на собственные значения: при каждом за-
данном p > 0 найти такие (β, u) ∈ R
+
× V \ {0}, что
(P) a(p, u, v) = β
2
b(u, v) ∀v ∈ V.
Формы a и b зависят от функции σ := ε/ε
∞
. В данном параграфе
будут использованы лишь следующие свойства этой функции:
1 6 σ 6 σ
+
:= ε
+
/ε
∞
в Ω; σ
Ω\Ω
i
= 1; C(Ω
i
) ∋ σ
Ω
i
> 1 + σ
0
.
§ 2. Существование и свойства решений                                                47


Здесь Dα обозначает обобщенную производную порядка α = (α1 , α2 ),

          ∂ |α|
       α
     D = α1 α2 ,         |α| = α1 + α2 ,        α1 , α2 > 0, D(0,0) u = u.
        ∂x1 ∂x2

При 1 6 p < ∞ пространство Wpk (D) оснащается нормой
                          ( ∑ ∫             )1/p
               ∥u∥k,p,D =          |D u| dx
                                      α p
                                                 ,
                                   |α|6k D

для полунорм используются обозначения
                     ( ∑ ∫           )1/p
          |u|s,p,D =        |D u| dx
                              α p
                                          ,              0 6 s 6 k.
                         |α|=s D


При p = 2 используются сокращения: H k (D) = W2k (D),

                  ∥u∥k,D = ∥u∥k,2,D ,        |u|s,D = |u|s,2,D .

Определим, наконец, пространство W∞k
                                     (D) — пространство (k − 1)-
раз непрерывно-дифференцируемых в D функций, производные k −1
порядка которых удовлетворяют в D условию Липшица. Норма в нем
                              ∑
                   ∥u∥k,∞,D =     |Dα u|0,∞,D .
                                    |α|6k

Пространства Соболева подробно описаны в книгах [26], [27].

            § 2. Существование и свойства решений

   Задачу (P) (см. замечание 2.4) далее будем рассматривать как
параметрическую задачу на собственные значения: при каждом за-
данном p > 0 найти такие (β, u) ∈ R+ × V \ {0}, что

                 (P)     a(p, u, v) = β 2 b(u, v) ∀ v ∈ V.

Формы a и b зависят от функции σ := ε/ε∞ . В данном параграфе
будут использованы лишь следующие свойства этой функции:

   1 6 σ 6 σ+ := ε+ /ε∞ в Ω; σ        Ω\Ωi
                                              = 1; C(Ωi ) ∋ σ      Ωi
                                                                        > 1 + σ0 .

Страницы