Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 3. Результаты численных экспериментов
операций. Выразим это число в терминах h. В силу регулярности
триангуляции n
Γ
= O(h
−1
); из оценок точности метода следует, что
достаточно выбрать N = O(ln(1/h)). Таким образом, для вычисле-
ния S(p) при данном p требуется порядка O(h
−1
ln
2
(1/h)) арифме-
тических операций, тогда как для вычисления матриц A
0h
(p) и B
h
требуется порядка O(h
−2
) операций.
Далее мы рассчитаем конкретные волноводы, характеризующих-
ся различной формой поперечного сечения Ω
i
и постоянной проницае-
мостью ε
1)
. Для каждого волновода мы приводим графики дисперси-
онных кривых, а также исследуем точность вычисления собственных
чисел β в зависимости от расчетных параметров h и N.
Опишем алгоритм определения дисперсионных кривых. Напом-
ним, что исходная задача состоит в определении кривых β = β(k) и
соответствующих собственных функций u = u(k), зависящих от вол-
нового числа k (k пропорционально частоте электромагнитных коле-
баний ω). Предположим, что нас интересуют все дисперсионные кри-
вые и соответствующие им собственные волны в интервале частот
[0, ω
0
] (т. е. при k ∈ [0, k
0
]). Мы знаем, что дисперсионные кривые
лежат в области
Λ
0
:= {(β, k) : ε
1/2
∞
k 6 β 6 ε
1/2
+
k, k ∈ [0, k
0
]}.
Используя предлагаемый нами метод, эта задача решается следую-
щим образом. Мы переформулируем задачу в терминах параметров
(β, p), вместо (β, k), где p = (β
2
− k
2
ε
∞
)
1/2
. Области Λ
0
взаимно-
однозначно соответствует область K
0
параметров (β, p),
K
0
:= {(β, p) : p ∈ [0, p
0
], γp 6 β 6 (p
2
+ k
0
ε
+
)
1/2
},
где γ := (ε
+
/(ε
+
− ε
∞
))
1/2
, p
0
:= (ε
+
− ε
∞
)
1/2
k
0
.
На отрезке [0, p
0
] введем равномерную сетку узлов и в каждой
точке сетки p
j
найдем все собственные числа β
h2
i
дискретной задачи
(3.1) из отрезка [γ
2
p
2
j
, p
2
j
+ k
0
ε
+
] и соответствующие им собственные
функции. В результате интерполяции (например, кусочно-линейной)
получим приближенные дисперсионные кривые β = β
h
i
(p), лежащие
в области K
0
. Положим k
h2
i
(p) := (β
h2
i
(p)−p
2
)/ε
∞
. Найденные кривые
β = β
h
i
(p), k = k
h
i
(p), p ∈ [0, p
0
],
1)
Будем считать, что единицы размерностей выбраны так, что ε
∞
= 1, µ
0
= 1.
80                                     Глава 3. Результаты численных экспериментов


операций. Выразим это число в терминах h. В силу регулярности
триангуляции nΓ = O(h−1 ); из оценок точности метода следует, что
достаточно выбрать N = O(ln(1/h)). Таким образом, для вычисле-
ния S(p) при данном p требуется порядка O(h−1 ln2 (1/h)) арифме-
тических операций, тогда как для вычисления матриц A0h (p) и Bh
требуется порядка O(h−2 ) операций.
     Далее мы рассчитаем конкретные волноводы, характеризующих-
ся различной формой поперечного сечения Ωi и постоянной проницае-
мостью ε 1) . Для каждого волновода мы приводим графики дисперси-
онных кривых, а также исследуем точность вычисления собственных
чисел β в зависимости от расчетных параметров h и N .
     Опишем алгоритм определения дисперсионных кривых. Напом-
ним, что исходная задача состоит в определении кривых β = β(k) и
соответствующих собственных функций u = u(k), зависящих от вол-
нового числа k (k пропорционально частоте электромагнитных коле-
баний ω). Предположим, что нас интересуют все дисперсионные кри-
вые и соответствующие им собственные волны в интервале частот
[0, ω0 ] (т. е. при k ∈ [0, k0 ]). Мы знаем, что дисперсионные кривые
лежат в области
                                                      1/2
                 Λ0 := {(β, k) : ε1/2
                                  ∞ k 6 β 6 ε+ k, k ∈ [0, k0 ]}.

Используя предлагаемый нами метод, эта задача решается следую-
щим образом. Мы переформулируем задачу в терминах параметров
(β, p), вместо (β, k), где p = (β 2 − k 2 ε∞ )1/2 . Области Λ0 взаимно-
однозначно соответствует область K0 параметров (β, p),
              K0 := {(β, p) : p ∈ [0, p0 ], γp 6 β 6 (p2 + k0 ε+ )1/2 },
где γ := (ε+ /(ε+ − ε∞ ))1/2 , p0 := (ε+ − ε∞ )1/2 k0 .
    На отрезке [0, p0 ] введем равномерную сетку узлов и в каждой
точке сетки pj найдем все собственные числа βih2 дискретной задачи
(3.1) из отрезка [γ 2 p2j , p2j + k0 ε+ ] и соответствующие им собственные
функции. В результате интерполяции (например, кусочно-линейной)
получим приближенные дисперсионные кривые β = βih (p), лежащие
в области K0 . Положим kih2 (p) := (βih2 (p)−p2 )/ε∞ . Найденные кривые
                        β = βih (p), k = kih (p),       p ∈ [0, p0 ],
 1)
      Будем считать, что единицы размерностей выбраны так, что ε∞ = 1, µ0 = 1.

Страницы