Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Волновод кругового поперечного сечения 81
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Рис. 1. Триангуляция области Ω для кругового волновода, R = 1.5, N
h
= 146.
образуют в совокупности приближения ко всем искомым дисперсион-
ным кривым точности O(h
2m
). Отметим, что в результате решения
дискретных задач на собственные значения (мы использовали метод
Ланцоша) определяются приближения лишь к сужениям собственных
функций на круг Ω. При необходимости они могут быть метагармо-
нически продолжены вне Ω.
§ 2. Волновод кругового поперечного сечения
Рассмотрим однородный волновод с круговым поперечным сече-
нием радиуса 1 и проницаемости ε = 2. Этот пример интересен тем,
что для него известно “точное” решение задачи.
Радиус R области Ω был выбран равным 1.5. На рис. 2 изобра-
жены первые семь дисперсионных кривых β = β(p) задачи (P), вы-
численные на сетке с 2493 узлами и числом Фурье-гармоник N = 10.
Сплошными линиями обозначено точное решение, точками — при-
ближенное, штриховой линией изображена прямая β = k
0
p, опреде-
ляющая границу области K. Все дисперсионные кривые лежат выше
этой прямой.
На рис. 3 сплошными линиями изображены первые семь диспер-
сионных кривых β = β(k) исходной задачи (P
∞
). Штриховыми ли-
ниями представлены прямые β = k
√
ε
+
и β = k
√
ε
∞
, определяющие
границы области Λ.
Представим теперь результаты численного исследования зависи-
§ 2. Волновод кругового поперечного сечения                                     81




                     1


                    0.5


                     0


                   −0.5


                    −1


                          −1.5   −1   −0.5   0   0.5   1   1.5



   Рис. 1. Триангуляция области Ω для кругового волновода, R = 1.5, Nh = 146.
образуют в совокупности приближения ко всем искомым дисперсион-
ным кривым точности O(h2m ). Отметим, что в результате решения
дискретных задач на собственные значения (мы использовали метод
Ланцоша) определяются приближения лишь к сужениям собственных
функций на круг Ω. При необходимости они могут быть метагармо-
нически продолжены вне Ω.

         § 2. Волновод кругового поперечного сечения

   Рассмотрим однородный волновод с круговым поперечным сече-
нием радиуса 1 и проницаемости ε = 2. Этот пример интересен тем,
что для него известно “точное” решение задачи.
   Радиус R области Ω был выбран равным 1.5. На рис. 2 изобра-
жены первые семь дисперсионных кривых β = β(p) задачи (P), вы-
численные на сетке с 2493 узлами и числом Фурье-гармоник N = 10.
Сплошными линиями обозначено точное решение, точками — при-
ближенное, штриховой линией изображена прямая β = k0 p, опреде-
ляющая границу области K. Все дисперсионные кривые лежат выше
этой прямой.
   На рис. 3 сплошными линиями изображены первые семь диспер-
сионных кривых β = β(k) исходной задачи (P∞ ). Штриховыми ли-
                                  √            √
ниями представлены прямые β = k ε+ и β = k ε∞ , определяющие
границы области Λ.
   Представим теперь результаты численного исследования зависи-

Страницы