Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. Даутов P.З. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Некоторые аспекты программной реализации 79
Пусть в результате триангуляции области Ω ее граница Γ разбита
точками ϕ
i
на n
Γ
равных частей длины h = 2π/n
Γ
. Будем считать
также, что граничные точки последовательно имеют номера от 1 до
n
Γ
, внутренние — от n
Γ
+ 1 до N
h
. Поскольку φ
i
при n
Γ
+ 1 6 i 6 N
h
равны нулю на Γ, то матрица S
N
h
(p) имеет следующий вид:
S
N
h
(p) =
S(p) 0
0 0
, S(p) =
s
kl
}
n
Γ
k,l=1
.
По определению пространства V
h
функции φ
k
, k = 1, 2, . . . , n
Γ
, равны
нулю на Γ вне отрезка [ϕ
k−1
, ϕ
k+1
] и
φ
k
Γ
=
(φ − ϕ
k−1
)/h, φ ∈ [ϕ
k−1
, ϕ
k
] ,
(ϕ
k+1
− φ)/h, φ ∈ [ϕ
k
, ϕ
k+1
] .
Простые вычисления приводят к следующей формуле:
a
n
(φ
k
) :=
1
2π
2π
0
φ
k
Γ
e
−inφ
dφ = d
n
e
−inϕ
k
, d
n
=
h
2π
sin(hn/2)
hn/2
2
.
Учтем, что a
n
(φ
k
) = a
−n
(φ
k
). Получим
1)
:
s
kl
= 4π
N
n=0
′
d
2
n
K
n
(pR)
cos(nϕ
l
) cos(nϕ
k
) + sin(nϕ
l
) sin(nϕ
k
)
.
Введем в рассмотрение прямоугольные матрицы Q
c
и Q
s
размера
n
Γ
×(N +1) с элементами cos(nϕ
l
) и sin(nϕ
l
) соответственно, а также
диагональную матрицу
D(p) = 4π diag(0.5d
2
0
K
0
(pR), d
2
1
K
1
(pR), . . . , d
2
N
K
N
(pR)).
Тогда, очевидно, справедлива формула
S(p) = Q
c
D(p)Q
T
c
+ Q
s
D(p)Q
T
s
.
Матрицы Q
c
и Q
s
вычисляются один раз и при новом значении p пе-
ревычисляется только матрица D(p) . Следовательно, для вычисле-
ния S(p) при данном p требуется порядка O(n
Γ
N
2
) арифметических
1)
в сумме
′
a
n
слагаемое a
0
умножается на 0.5
§ 1. Некоторые аспекты программной реализации                                               79


     Пусть в результате триангуляции области Ω ее граница Γ разбита
точками ϕi на nΓ равных частей длины h = 2π/nΓ . Будем считать
также, что граничные точки последовательно имеют номера от 1 до
nΓ , внутренние — от nΓ + 1 до Nh . Поскольку φi при nΓ + 1 6 i 6 Nh
равны нулю на Γ, то матрица ShN (p) имеет следующий вид:
                        [        ]
                          S(p) 0             {
                 N
               Sh (p) =            , S(p) = skl }nk,l=1
                                                   Γ
                                                        .
                           0 0
По определению пространства Vh функции φk , k = 1, 2, . . . , nΓ , равны
нулю на Γ вне отрезка [ϕk−1 , ϕk+1 ] и
                    {
                       (φ − ϕk−1 )/h, φ ∈ [ϕk−1 , ϕk ] ,
             φk Γ =
                       (ϕk+1 − φ)/h, φ ∈ [ϕk , ϕk+1 ] .
Простые вычисления приводят к следующей формуле:

                           ∫2π
              1                       −inφ               −inϕk             h ( sin(hn/2) )2
 an (φk ) :=                     φk Γ e      dφ = dn e           ,   dn =                   .
             2π                                                           2π      hn/2
                           0

Учтем, что an (φk ) = a−n (φk ). Получим1) :

                     ∑
                     N
                                          (                                         )
                           ′
      skl = 4π                 d2n Kn (pR) cos(nϕl ) cos(nϕk ) + sin(nϕl ) sin(nϕk ) .
                     n=0

Введем в рассмотрение прямоугольные матрицы Qc и Qs размера
nΓ × (N + 1) с элементами cos(nϕl ) и sin(nϕl ) соответственно, а также
диагональную матрицу

          D(p) = 4π diag(0.5d20 K0 (pR), d21 K1 (pR), . . . , d2N KN (pR)).

Тогда, очевидно, справедлива формула

                                 S(p) = Qc D(p)QTc + Qs D(p)QTs .

Матрицы Qc и Qs вычисляются один раз и при новом значении p пе-
ревычисляется только матрица D(p) . Следовательно, для вычисле-
ния S(p) при данном p требуется порядка O(nΓ N 2 ) арифметических
 1)
                ∑′
      в сумме        an слагаемое a0 умножается на 0.5

Страницы