Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Реактор проточного типа 27
θ — безразмерная температура, X и Y — безразмерные концентрации
компонентов A и B. Уравнения (1) дополняются начальными услови-
ями
X(0) = x
0
, Y (0) = y
0
, θ(0) = θ
0
. (2)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ hk
1
/2),
k
3
= f(t
n
+ h, y
n
− hk
1
+ 2hk
2
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
2
+ k
3
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
3
от выбранного шага h. Поясните
результаты вычислений.
4. Решить исходную систему уравнений при помощи разработанной
программы. Приведите наиболее характерные графики траекторий в
фазовых координатах (x, θ), (y, θ) и графики x(t), y(t), θ(t) на интер-
вале интегрирования при разных значениях Da из отрезка [0.2, 0.7]
при следующих исходных данныx
x
0
= 0.4, y
0
= 0.5, θ
0
= 1.3, k = 1, γ = 20000,
α = S = 0.03, β = 4, θ
C
= 0, B = 13.
Найдите те значения Da при которых в системе cуществует предель-
ный цикл (автоколебательный режим работы реактора).
Реактор проточного типа                                                27


θ — безразмерная температура, X и Y — безразмерные концентрации
компонентов A и B. Уравнения (1) дополняются начальными услови-
ями
                X(0) = x0 , Y (0) = y0 , θ(0) = θ0 .         (2)

                                    Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 3-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                    k1 = f (tn , yn ),
                    k2 = f (tn + h/2, yn + hk1 /2),
                    k3 = f (tn + h, yn − hk1 + 2hk2 ),
                    yn+1 = yn + h(k1 + 4k2 + k3 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
              y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
              y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
           y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,   y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h3 от выбранного шага h. Поясните
результаты вычислений.
4. Решить исходную систему уравнений при помощи разработанной
программы. Приведите наиболее характерные графики траекторий в
фазовых координатах (x, θ), (y, θ) и графики x(t), y(t), θ(t) на интер-
вале интегрирования при разных значениях Da из отрезка [0.2, 0.7]
при следующих исходных данныx
          x0 = 0.4, y0 = 0.5, θ0 = 1.3, k = 1, γ = 20000,
              α = S = 0.03, β = 4, θC = 0, B = 13.
Найдите те значения Da при которых в системе cуществует предель-
ный цикл (автоколебательный режим работы реактора).

Страницы