Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 29 стр.

Задание 3. Система типа хищник-жертва. Модель
                  Базыкина.


    1. Постановка задачи [1,2]. Рассмотрим динамику популя-
ции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-
жертва, при наличии внутривидовой конкуренции жертв за ограни-
ченные ресурсы и учете фактора нелинейности размножения жертв
при малых плотностях популяции. Обозначим через x = x(t) и
y = y(t) плотности популяций жертв и хищников в момент време-
ни t. Уравнения имеют следующий вид:

                      ′     ax2 K − x
                     x =              − bxy,
                           N +x K                              (1)
                     y ′ = −cy + dxy,
где a, b, c, d, N , K — неотрицательные числа. Структура уравнений
следующая
  • Величина ax2 /(N + x)(K − x)/K определяет скорость размноже-
    ния жертв в отсутствии хищников. При малых x скорость опре-
    деляется величиной ax/N и является малой (гиперболический
    закон). При больших плотностях (до величины K) популяция
    растет, при x > K — уменьшается в размерах (скорость отри-
    цательна). Таким образом, это слагаемое описывает ограничен-
    ность ресурсов: окружающая среда может обеспечивать суще-
    ствование только популяции плотности меньшей K.
  • Слагаемое bxy описывает влияние хищников на популяцию
    жертв. Функция bx характеризует количество жертв, убиваемых
    одним хищником в единицу времени (реакция хищника на плот-
    ность популяции жертвы). Как видим, в данной модели хищники
    чрезвычайно кровожадны.
  • Второе уравнение определяет изменение популяции хищников.
    Постоянная определяется естественной нормой смертности хищ-
    ников. Второе слагаемое (функция dx) характеризует прирост