Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30 Модель Базыкина.
хищников в зависимости от плотности жертв (в данной модели
хищники еще к тому же и чрезвычайно плодовиты).
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
X = x/K, Y =
(
b
a
)
y, τ = at, n =
N
K
, m =
c
dK
, γ =
dK
a
,
преобразуем уравнения (1) к виду
X
′
=
(1 − X)X
2
n + X
− XY,
Y
′
= γ(X −m)Y,
(2)
и дополним их начальными условиями
X(0) = X
0
, Y (0) = Y
0
. (3)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/4, y
n
+ h/4k
1
),
k
3
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
− 2hk
2
+ 2hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
3
+ k
4
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −αy
1
− βy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
y
′
2
= βy
1
− αy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y
1
= y
2
= e
−t
, α = 2, β = 3.
30                                                          Модель Базыкина.


     хищников в зависимости от плотности жертв (в данной модели
     хищники еще к тому же и чрезвычайно плодовиты).
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные вели-
чины
                ( )
                 b                N       c       dK
   X = x/K, Y =     y, τ = at, n = , m =    , γ=     ,
                 a                K      dK        a
преобразуем уравнения (1) к виду

                          ′  (1 − X)X 2
                       X =              − XY,
                               n+X                                       (2)
                       Y ′ = γ(X − m)Y,
и дополним их начальными условиями

                       X(0) = X0 ,     Y (0) = Y0 .                      (3)

                                  Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида

                y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,

на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
               k1 = f (tn , yn ),
               k2 = f (tn + h/4, yn + h/4k1 ),
               k3 = f (tn + h/2, yn + h/2k2 ),
               k4 = f (tn + h, yn + hk1 − 2hk2 + 2hk3 ),
               yn+1 = yn + h(k1 + 4k3 + k4 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений

                 y1′ = −αy1 − βy2 + (α + β − 1)e−t ,
                 y2′ = βy1 − αy2 + (α + β − 1)e−t ,

на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)

                   y1 = y2 = e−t ,     α = 2, β = 3.

Страницы