Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о форме висящей капли. 65
r
z
S
z
φ
Рис. 2. Параметризация поверхности висящей капли.
Добавив уравнения
dr
ds
= cos(ϕ),
dZ
ds
= sin(ϕ), (3)
для определения формы капли получим систему из трех уравнений
(2), (3), которые дополним начальными условиями
r(0) = 0, Z(0) = −z
0
, ϕ(0) = 0. (4)
Из вида уравнений (2),(3) следует, что форма поверхности жидко-
сти определяется постоянной α, называемой капиллярной постоян-
ной. Она имеет размерность длины. Для воды α = 0.39 см. (при
20
◦
C). Величина z
0
определяется из условия, что капля имеет задан-
ный объем V
0
.
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
y
n+1
= y
n
+ hk
2
.
Задача о форме висящей капли.                                     65




                                                   φ

                                               z
               z




                        S


                                         r
              Рис. 2. Параметризация поверхности висящей капли.
Добавив уравнения
                     dr           dZ
                        = cos(ϕ),    = sin(ϕ),             (3)
                     ds           ds
для определения формы капли получим систему из трех уравнений
(2), (3), которые дополним начальными условиями
                    r(0) = 0, Z(0) = −z0 , ϕ(0) = 0.              (4)
Из вида уравнений (2),(3) следует, что форма поверхности жидко-
сти определяется постоянной α, называемой капиллярной постоян-
ной. Она имеет размерность длины. Для воды α = 0.39 см. (при
20◦ C). Величина z0 определяется из условия, что капля имеет задан-
ный объем V0 .
                                     Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                   y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                       k1 = f (tn , yn ),
                       k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                       yn+1 = yn + hk2 .

Страницы