Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Задача о форме висящей капли.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной
программы. Для нескольких значений z
0
рассчитать форму капель.
Привести их графики в координатах (r, Z) и графики функций
r(t), Z(t), ϕ(t) на отрезке интегрирования
Замечание 1.2. Обратите внимание на особенность при s = 0. При малых s
имеем r ≈ s, ϕ ≈ ks, Z ≈ −z
0
; из уравнения (2) получим k = z
0
/(2α
2
). Поэтому
sin(ϕ)/r → k при s → 0.
2. Интегрирование, очевидно, ведется до тех пор, пока функция ϕ(s) не станет равной
ϕ
0
.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидро-
динамика. - М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.
66                                               Задача о форме висящей капли.


2. Тестировать программу на примере системы уравнений
                y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
                y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),

на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)

            y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,    y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .

3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной
программы. Для нескольких значений z0 рассчитать форму капель.
Привести их графики в координатах (r, Z) и графики функций
r(t), Z(t), ϕ(t) на отрезке интегрирования
     Замечание 1.2. Обратите внимание на особенность при s = 0. При малых s
имеем r ≈ s, ϕ ≈ ks, Z ≈ −z0 ; из уравнения (2) получим k = z0 /(2α2 ). Поэтому
sin(ϕ)/r → k при s → 0.
2. Интегрирование, очевидно, ведется до тех пор, пока функция ϕ(s) не станет равной
ϕ0 .

                                 Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидро-
динамика. - М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
- М.: Наука, 1987.

Страницы