Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

68 Реактор проточного типа
2. Безразмерная форма уравнений. Определим безразмер-
ные величины:
x =
C
A0
− C
A
C
A0
, θ =
E
RT
2
0
(T − T
0
) , Da = k(T
0
)V/F, τ =
tF
V
,
γ = E/RT
0
, θ
C
=
E
RT
2
0
(T
C
− T
0
) , β =
US
F C
P
, B =
−H
r
C
A0
C
P
T
0
E
RT
0
.
Тогда уравнения (1) в новых переменных перепишутся в виде
x
′
= −Λx + Da (1 − x) exp
(
θ
1 + θ/γ
)
,
θ
′
= −Λθ + Da B (1 − x) exp
(
θ
1 + θ/γ
)
− β (θ − θ
C
) .
(2)
Уравнения (2) дополняются начальными условиями
x(0) = x
0
, θ(0) = θ
0
. (3)
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/4, y
n
+ h/4k
1
),
k
3
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
− 2hk
2
+ 2hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 4k
3
+ k
4
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −αy
1
− βy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
y
′
2
= βy
1
− αy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y
1
= y
2
= e
−t
, α = 2, β = 3.
68                                                  Реактор проточного типа


   2. Безразмерная форма уравнений. Определим безразмер-
ные величины:
     CA0 − CA       E                                           tF
 x=           , θ=       (T − T  0 ) , Da  = k(T  0 )V /F,  τ =    ,
        CA0        RT02                                          V
                   E                        US             −Hr CA0 E
 γ = E/RT0 , θC =      (T C − T 0 ) ,  β =      ,    B  =             .
                  RT02                     F CP             CP T0 RT0
Тогда уравнения (1) в новых переменных перепишутся в виде
                                 (         )
        ′                              θ
       x = −Λx + Da (1 − x) exp              ,
                                   1 + θ/γ )
                                   (                                    (2)
                                         θ
       θ′ = −Λθ + Da B (1 − x) exp             − β (θ − θC ) .
                                     1 + θ/γ
Уравнения (2) дополняются начальными условиями
                          x(0) = x0 , θ(0) = θ0 .                       (3)

                                   Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                 y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
               k1 = f (tn , yn ),
               k2 = f (tn + h/4, yn + h/4k1 ),
               k3 = f (tn + h/2, yn + h/2k2 ),
               k4 = f (tn + h, yn + hk1 − 2hk2 + 2hk3 ),
               yn+1 = yn + h(k1 + 4k3 + k4 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
                  y1′ = −αy1 − βy2 + (α + β − 1)e−t ,
                  y2′ = βy1 − αy2 + (α + β − 1)e−t ,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
                    y1 = y2 = e−t ,     α = 2, β = 3.

Страницы