Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 70 стр.

        Задание 17. Задача о полете ракеты-2.


   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим полет ракеты, выпущен-
ной с начальной скоростью v под углом θ0 к горизонту, при следую-
щих предположениях:
  • сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-
    сти ракеты;
  • дальность полета ракеты не превышает 100 км;
  • боковой ветер отсутствует.
При сделанных допущениях можно считать, что земля плоская и вся
траектория ракеты лежит в одной плоскости xOy. Уравнения движе-
ния центра масс ракеты в проекциях на оси координат запишутся в
виде
            x′′ = (T − CρSv 2 /2) cos(θ)/m − m′ x′ /m,
                                                             (1)
            y ′′ = (T − CρSv 2 /2) sin(θ)/m − m′ y ′ /m − g,
Здесь m = m(t) — масса ракеты, v = (x′2 + y ′2 )1/2 — скорость дви-
жения, θ = arctg(y ′ /x′ ) — угол между касательной к траектории и
осью Ox, g — ускорение силы тяжести, S — площадь поперечного
сечения ракеты, ρ — плотность воздуха, C — коэффициент лобового
сопротивления ракеты, T = T (t) — сила тяги при работе двигателя
ракеты.
    Уравнения (1) дополняются начальными условиями
              x(0) = 0, y(0) = 0, θ(0) = θ0 , v(0) = v0 .                    (2)
    2. Преобразование уравнений. Для численного решения удоб-
но преобразовать два уравнения 2-го порядка (1) к системе четырех
уравнений 1-го порядка. Дифференцируя соотношения
                       x′ = v cos(θ),     y ′ = v sin(θ),                    (3)
имеем
        x′′ = v ′ cos(θ) − v sin(θ)θ′ ,   y ′′ = v ′ sin(θ) + v cos(θ)θ′ .