Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о полете ракеты. 71
Подставляя теперь эти производные в уравнения (1) и разрешая по-
лученные соотношения относительно v
′
и θ
′
получим
v
′
= (T − CρSv
2
/2)/m − m
′
v/m − g sin(θ),
θ
′
= −g cos(θ)/v.
(4)
Уравнения (3), (4), вместе с начальными условиями (2), полностью
описывают траекторию полета ракеты.
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
ракету сил.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из
n
уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
+ 2/3hk
1
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
2
)/4.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −αy
1
− βy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
y
′
2
= βy
1
− αy
2
+ (α + β − 1)e
−t
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y
1
= y
2
= e
−t
, α = 5, β = 10.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета ракеты при следующих исход-
ных данных:
m(0) = 50 кг., C = 0.25, ρ = 1.29 кг./м
3
,
S = 0.35 м
2
, g = 9.81, v
0
= 60 м/сек.
Задача о полете ракеты.                                           71


Подставляя теперь эти производные в уравнения (1) и разрешая по-
лученные соотношения относительно v ′ и θ′ получим
              v ′ = (T − CρSv 2 /2)/m − m′ v/m − g sin(θ),
                                                                 (4)
              θ′ = −g cos(θ)/v.
Уравнения (3), (4), вместе с начальными условиями (2), полностью
описывают траекторию полета ракеты.
                                    Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
ракету сил.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                     k1 = f (tn , yn ),
                     k2 = f (tn + 2/3h, yn + 2/3hk1 ),
                     yn+1 = yn + h(k1 + 3k2 )/4.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
                   y1′ = −αy1 − βy2 + (α + β − 1)e−t ,
                   y2′ = βy1 − αy2 + (α + β − 1)e−t ,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
                    y1 = y2 = e−t ,     α = 5, β = 10.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета ракеты при следующих исход-
ных данных:
              m(0) = 50 кг., C = 0.25, ρ = 1.29 кг./м3 ,
               S = 0.35 м2 , g = 9.81, v0 = 60 м/сек.

Страницы