Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов
Аналогично,
Φ = F + G, F =
{
∫
Ω
h
fφ
i
dx
}
n
p
i=1
, G =
{
∫
Γ
h
1
µφ
i
dx
}
n
p
i=1
.
Вычисление K и F . Согласно определению
K u · v =
∫
Ω
h
(c∇u
h
· ∇v
h
+ b · ∇u
h
v
h
+ au
h
v
h
) dx,
где u, v ∈ R
n
p
— векторы узловых параметров произвольно фикси-
рованных функций u
h
, v
h
∈ S
h
. Пронумеруем все конечные элементы
от 1 до n
t
. Тогда
K u · v =
n
t
∑
ℓ=1
∫
τ
ℓ
(c∇u
h
· ∇v
h
+ b · ∇u
h
v
h
+ au
h
v
h
) dx. (1.10)
Рассмотрим представление u
h
и v
h
на элементе τ
ℓ
∈ T
h
. Пусть на τ
ℓ
имеется m
τ
узлов интерполяции (m
τ
одно и тоже для всех элемен-
тов) и пусть они перечислены в некотором порядке a
i
1
, a
i
2
, . . . , a
i
m
τ
,
одинаковом для всех элементов (локально пронумерованы). Зададим
матрицу t размера m
τ
×n
t
, в ℓ-том столбце которого разместим номе-
ра узлов ℓ-го элемента i
1
, i
2
, . . . , i
m
τ
; т.о. t
jℓ
определяет номер (индекс)
j-го узла (в локальной нумерации) на элементе τ
ℓ
.
1)
По определению
базиса Лагранжа на элементе τ
ℓ
имеют место разложения
u
h
(x) =
m
τ
∑
β=1
u
i
β
φ
i
β
(x) =
m
τ
∑
β=1
u
t
βℓ
φ
t
βℓ
(x), v
h
(x) =
m
τ
∑
α=1
v
t
αℓ
φ
t
αℓ
(x).
Подставляя эти разложения в (1.10), получим
K u · v =
n
t
∑
ℓ=1
m
τ
∑
α,β=1
k
ℓ
αβ
u
t
βℓ
v
t
αℓ
. (1.11)
Образовавшаяся здесь матрица K
ℓ
= {k
ℓ
αβ
}
m
τ
α,β=1
, где
k
ℓ
αβ
=
∫
τ
ℓ
(
c ∇φ
t
βℓ
· ∇φ
t
αℓ
+ b · ∇φ
t
βℓ
φ
t
αℓ
+ a φ
t
βℓ
φ
t
αℓ
)
dx,
1)
Матрицу t называют матрицей связности элементов, поскольку в ней хранится информация
о том, какая группа узлов образуют тот или иной элемент.
10                  Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов


Аналогично,
                                   {∫               }np                {∫                   }np
         Φ = F + G,          F =          f φi dx           ,   G=                µφi dx            .
                                                      i=1                                     i=1
                                    Ωh                                      Γh1

Вычисление K и F . Согласно определению
                ∫
       K u · v = (c∇uh · ∇vh + b · ∇uh vh + auh vh ) dx,
                             Ωh

где u, v ∈ Rnp — векторы узловых параметров произвольно фикси-
рованных функций uh , vh ∈ Sh . Пронумеруем все конечные элементы
от 1 до nt . Тогда
                 ∑nt ∫
       Ku·v =          (c∇uh · ∇vh + b · ∇uh vh + auh vh ) dx. (1.10)
                        ℓ=1 τ
                             ℓ

Рассмотрим представление uh и vh на элементе τℓ ∈ Th . Пусть на τℓ
имеется mτ узлов интерполяции (mτ одно и тоже для всех элемен-
тов) и пусть они перечислены в некотором порядке ai1 , ai2 , . . . , aimτ ,
одинаковом для всех элементов (локально пронумерованы). Зададим
матрицу t размера mτ × nt , в ℓ-том столбце которого разместим номе-
ра узлов ℓ-го элемента i1 , i2 , . . . , imτ ; т.о. tjℓ определяет номер (индекс)
j-го узла (в локальной нумерации) на элементе τℓ .1) По определению
базиса Лагранжа на элементе τℓ имеют место разложения
                  ∑
                  mτ                    ∑
                                        mτ                                        ∑
                                                                                  mτ
       uh (x) =         uiβ φiβ (x) =         utβℓ φtβℓ (x),     vh (x) =               vtαℓ φtαℓ (x).
                  β=1                   β=1                                       α=1

Подставляя эти разложения в (1.10), получим
                                          ∑
                                          nt ∑
                                             mτ
                             Ku·v =                        ℓ
                                                          kαβ utβℓ vtαℓ .                               (1.11)
                                              ℓ=1 α,β=1

Образовавшаяся здесь матрица K ℓ = {kαβ ℓ
                                           }m
                                            α,β=1 , где
                                              τ

            ∫
              (                                              )
       ℓ
      kαβ =    c ∇φtβℓ · ∇φtαℓ + b · ∇φtβℓ φtαℓ + a φtβℓ φtαℓ dx,
                   τℓ
  1)
    Матрицу t называют матрицей связности элементов, поскольку в ней хранится информация
о том, какая группа узлов образуют тот или иной элемент.

Страницы