ВУЗ:
Составители:
8 Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов
поставим в соответствие базисную функцию φ
i
∈ S
h
так, что φ
i
(a
j
) =
δ
ij
, j = 1, . . . , n
p
.
1)
Значение произвольной функции v
h
∈ S
h
в узле
a
i
∈ ω
h
договоримся обозначать через v
i
, а вектор v = (v
i
)
n
p
i=1
будем
называть вектором узловых параметров v
h
. Тогда для любого v
h
∈ S
h
справедливо разложение
v
h
(x) =
n
p
∑
i=1
v
i
φ
i
(x), x ∈
¯
Ω
h
.
Разобьем множество индексов I = { 1, 2, . . . , n
p
} на два подмножества:
i
d
= {i ∈ I : a
i
∈ γ
h
}, i
n
= {i ∈ I : a
i
∈ ω
h
\ γ
h
}.
В узлах a
i
, i ∈ i
d
, задано краевое условие Дирихле (u
h
(a
i
) = u
D i
,
u
D i
= u
D
(a
i
)) и решение задачи в этих узлах известно, u
i
= u
D i
,
i ∈ i
d
; необходимо определить значения u
h
в точках с индексами из
i
n
. В
¯
Ω
h
справедливы разложения
u
h
(x) =
∑
i∈i
n
u
i
φ
i
(x) +
∑
i∈i
d
u
D i
φ
i
(x), v
h
(x) =
∑
i∈i
n
v
i
φ
i
(x), (1.5)
для функций из V
h
и V
0
h
соответственно. Определим также матрицу
A (размера n
p
× n
p
) и вектор Φ (n
p
× 1) с компонентами
a
ij
=
∫
Ω
h
(c∇φ
j
· ∇φ
i
+ b · ∇φ
j
φ
i
+ aφ
j
φ
i
) dx +
∫
Γ
h
1
σφ
j
φ
i
dx, (1.6)
ϕ
i
=
∫
Ω
h
f(x)φ
i
dx +
∫
Γ
h
1
µ(x)φ
i
dx, (1.7)
Теперь, подставляя в (1.4) вместо u
h
его разложение (1.5), а вместо
v
h
— поочередно φ
i
, i ∈ i
n
, придем к системе уравнений
1)
∑
j∈i
n
a
ij
u
j
= F
i
, i ∈ i
n
, F
i
= ϕ
i
−
∑
j∈i
d
a
ij
u
D j
. (1.8)
1)
δ
ij
= 1 при i = j, иначе δ
ij
= 0. Базис Лагранжа имеет два важных свойства: если a
i
не принадлежит некоторому конечному элементу (грани элемента), то φ
i
тождественно равна
нулю на этом элементе (на этой грани); т.о. диаметр области, на которой φ
i
отлична от нуля,
равен 2h.
1)
из системы (1.8) следуют равенства (1.4). Чтобы убедиться в этом достаточно умножить
i-тое равенство в (1.8) на v
i
и просуммировать по всем i ∈ i
n
и учесть определения (1.5), (1.6)
и (1.7).
8 Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов
поставим в соответствие базисную функцию φi ∈ Sh так, что φi (aj ) =
δij , j = 1, . . . , np .1) Значение произвольной функции vh ∈ Sh в узле
np
ai ∈ ωh договоримся обозначать через vi , а вектор v = (vi )i=1 будем
называть вектором узловых параметров vh . Тогда для любого vh ∈ Sh
справедливо разложение
∑
np
vh (x) = vi φi (x), x ∈ Ω̄h .
i=1
Разобьем множество индексов I = {1, 2, . . . , np } на два подмножества:
id = {i ∈ I : ai ∈ γh }, in = {i ∈ I : ai ∈ ωh \ γh }.
В узлах ai , i ∈ id , задано краевое условие Дирихле (uh (ai ) = uD i ,
uD i = uD (ai )) и решение задачи в этих узлах известно, ui = uD i ,
i ∈ id ; необходимо определить значения uh в точках с индексами из
in . В Ω̄h справедливы разложения
∑ ∑ ∑
uh (x) = ui φi (x) + uD i φi (x), vh (x) = vi φi (x), (1.5)
i∈in i∈id i∈in
для функций из Vh и Vh0 соответственно. Определим также матрицу
A (размера np × np ) и вектор Φ (np × 1) с компонентами
∫ ∫
aij = (c∇φj · ∇φi + b · ∇φj φi + aφj φi ) dx + σφj φi dx, (1.6)
Ωh Γh1
∫ ∫
ϕi = f (x)φi dx + µ(x)φi dx, (1.7)
Ωh Γh1
Теперь, подставляя в (1.4) вместо uh его разложение (1.5), а вместо
vh — поочередно φi , i ∈ in , придем к системе уравнений1)
∑ ∑
aij uj = Fi , i ∈ in , Fi = ϕi − aij uD j . (1.8)
j∈in j∈id
1)
δij = 1 при i = j, иначе δij = 0. Базис Лагранжа имеет два важных свойства: если ai
не принадлежит некоторому конечному элементу (грани элемента), то φi тождественно равна
нулю на этом элементе (на этой грани); т.о. диаметр области, на которой φi отлична от нуля,
равен 2h.
1)
из системы (1.8) следуют равенства (1.4). Чтобы убедиться в этом достаточно умножить
i-тое равенство в (1.8) на vi и просуммировать по всем i ∈ in и учесть определения (1.5), (1.6)
и (1.7).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
