Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Примеры триангуляций области. 7
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
1
x
2
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
1
x
2
Рис. 1. Примеры триангуляции двусвязной многоугольной области. Конечные элементы
— треугольники, узлы интерполяции выделены жирными точками. Сетку узлов на
левом рисунке назовем P
1
сеткой, на правом — P
2
сеткой.
1.3. Примеры триангуляций области.
На левом рис. 1 приведен пример разбиения области на 3-x уз-
ловые конечные элементы. В этом случае элемент τ является одним
из треугольников, ω
τ
образуется его вершинами, P
τ
= P
1
= {p : p =
c
1
+ c
2
x
1
+ c
3
x
2
} — множество полиномов первой степени. Отметим,
что любые два элемента могут иметь общими либо целиком сторо-
ну (ребро), либо вершину. На каждом ребре располагаются 2 узла
интерполяции.
На правом рис. 1 приведен пример разбиения области на 6-ти уз-
ловые конечные элементы: в ω
τ
включается кроме вершин треуголь-
ника τ также средние точки его сторон (ребер), P
τ
= P
2
= {p : p =
c
1
+ c
2
x
1
+ c
3
x
2
+ c
4
x
2
1
+ c
5
x
1
x
2
+ c
6
x
2
2
} — множество полиномов вто-
рой степени; на каждом ребре располагаются 3 узла интерполяции. В
обоих случаях область Ω
h
совпадает с Ω, произвольная функция из
P
τ
однозначно определяется своими значениями в точках ω
τ
.
1.4. Система МКЭ.
Равенства (1.4), определяющие схему МКЭ, сводятся к системе
алгебраических уравнений. Для этого необходимо выбрать базис в S
h
(размерность S
h
равна числу узлов в ω
h
). Базис Лагранжа, принятый
в МКЭ, определяется следующим образом. Пронумеруем каким либо
способом узлы ω
h
от 1 до n
p
(n
p
зависит от h) и каждому узлу a
i
∈ ω
h
1.3. Примеры триангуляций области.                                                                                                 7



       0.6                                                              0.6


       0.4                                                              0.4


       0.2                                                              0.2


        0                                                                0
 x2




                                                                  x2
      −0.2                                                             −0.2


      −0.4                                                             −0.4


      −0.6                                                             −0.6


             −0.6   −0.4   −0.2   0   0.2   0.4   0.6   0.8   1               −0.6   −0.4   −0.2   0   0.2   0.4   0.6   0.8   1
                                      x                                                                x
                                       1                                                                1




Рис. 1. Примеры триангуляции двусвязной многоугольной области. Конечные элементы
— треугольники, узлы интерполяции выделены жирными точками. Сетку узлов на
левом рисунке назовем P1 сеткой, на правом — P2 сеткой.


1.3. Примеры триангуляций области.

    На левом рис. 1 приведен пример разбиения области на 3-x уз-
ловые конечные элементы. В этом случае элемент τ является одним
из треугольников, ωτ образуется его вершинами, Pτ = P1 = {p : p =
c1 + c2 x1 + c3 x2 } — множество полиномов первой степени. Отметим,
что любые два элемента могут иметь общими либо целиком сторо-
ну (ребро), либо вершину. На каждом ребре располагаются 2 узла
интерполяции.
    На правом рис. 1 приведен пример разбиения области на 6-ти уз-
ловые конечные элементы: в ωτ включается кроме вершин треуголь-
ника τ также средние точки его сторон (ребер), Pτ = P2 = {p : p =
c1 + c2 x1 + c3 x2 + c4 x21 + c5 x1 x2 + c6 x22 } — множество полиномов вто-
рой степени; на каждом ребре располагаются 3 узла интерполяции. В
обоих случаях область Ωh совпадает с Ω, произвольная функция из
Pτ однозначно определяется своими значениями в точках ωτ .

1.4. Система МКЭ.

    Равенства (1.4), определяющие схему МКЭ, сводятся к системе
алгебраических уравнений. Для этого необходимо выбрать базис в Sh
(размерность Sh равна числу узлов в ωh ). Базис Лагранжа, принятый
в МКЭ, определяется следующим образом. Пронумеруем каким либо
способом узлы ωh от 1 до np (np зависит от h) и каждому узлу ai ∈ ωh

Страницы