Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1. Определение МКЭ на основе лагранжевых элементов
1.1. Модельная задача.
Рассмотрим следующую модельную краевую задачу об определе-
нии функции u = u(x) в плоской ограниченной области Ω с кусочно
гладкой границей Γ = Γ
0
∪ Γ
1
:
− div(c(x) ∇u) + b(x) · ∇u + a(x)u = f(x), x = (x
1
, x
2
) ∈ Ω, (1.1)
u(x) = u
D
(x), x ∈ Γ
0
, c(x) ∇u · ν(x) + σ(x)u = µ(x), x ∈ Γ
1
. (1.2)
Здесь Γ
0
(Γ
1
) — не обязательно связное множество, может быть пу-
стым (в этом случае соответствующее краевое условие опускается); Γ
0
считается замкнутым множеством; ν(x) — единичный вектор внеш-
ней нормали в точке x ∈ Γ; “·” — скалярное произведение векторов,
div b =
∂b
1
∂x
1
+
∂b
2
∂x
2
, ∇u =
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
T
.
Функции c, a, f, u
D
, σ, µ, а также вектор-функция b(x) =
(b
1
(x), b
2
(x))
T
, предполагаются заданными и кусочно гладкими; ре-
шение задачи u и вектор-функция c(x) ∇u предполагаются непрерыв-
ными на Ω.
Метод конечных элементов исходит из обобщенной формулировки
этой задачи.
1)
Она имеет следующий вид: найти функцию u ∈ V
такую, что для любого v ∈ V
0
Ω
(c∇u · ∇v + b · ∇uv + auv) dx +
Γ
1
σuv dx =
Ω
fv dx +
Γ
1
µv dx . (1.3)
1)
она получается стандартной последовательностью действий: умножением уравнения на
функцию v ∈ V
0
, интегрированием полученного равенства по области Ω, применением фор-
мулы Остраградского-Гаусса
Ω
div bv dx = −
Ω
b · ∇v dx +
Γ
b · νv dx, учетом краевых условий
во внеынтегральном слагаемом.
                                        Глава 1
   АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА
         КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ


 § 1. Определение МКЭ на основе лагранжевых элементов

1.1. Модельная задача.

   Рассмотрим следующую модельную краевую задачу об определе-
нии функции u = u(x) в плоской ограниченной области Ω с кусочно
гладкой границей Γ = Γ0 ∪ Γ1 :
  − div(c(x) ∇u) + b(x) · ∇u + a(x)u = f (x), x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, (1.1)
  u(x) = uD (x), x ∈ Γ0 , c(x) ∇u · ν(x) + σ(x)u = µ(x), x ∈ Γ1 . (1.2)
Здесь Γ0 (Γ1 ) — не обязательно связное множество, может быть пу-
стым (в этом случае соответствующее краевое условие опускается); Γ0
считается замкнутым множеством; ν(x) — единичный вектор внеш-
ней нормали в точке x ∈ Γ; “·” — скалярное произведение векторов,
                       ∂b1   ∂b2        ( ∂u ∂u )T
               div b =     +     , ∇u =      ,      .
                       ∂x1 ∂x2           ∂x1 ∂x2
Функции c, a, f , uD , σ, µ, а также вектор-функция b(x) =
(b1 (x), b2 (x))T , предполагаются заданными и кусочно гладкими; ре-
шение задачи u и вектор-функция c(x) ∇u предполагаются непрерыв-
ными на Ω.
     Метод конечных элементов исходит из обобщенной формулировки
этой задачи.1) Она имеет следующий вид: найти функцию u ∈ V
такую, что для любого v ∈ V 0
  ∫                                        ∫                 ∫              ∫
       (c∇u · ∇v + b · ∇uv + auv) dx +          σuv dx   =       f v dx +        µv dx . (1.3)
  Ω                                        Γ1                Ω              Γ1

  1)
    она получается стандартной последовательностью действий: умножением уравнения на
функцию v ∈ V 0 , интегрированием
                           ∫      полученного
                                          ∫      равенства
                                                         ∫ по области Ω, применением фор-
мулы Остраградского-Гаусса Ω div bv dx = − Ω b · ∇v dx + Γ b · νv dx, учетом краевых условий
во внеынтегральном слагаемом.

Страницы