Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов
Здесь V — аффинное множество функций, V
0
— пространство проб-
ных функций (H
1
(Ω) — пространство Соболева):
V = {v ∈ H
1
(Ω) : v(x) = u
D
(x), x ∈ Γ
0
},
V
0
= {v ∈ H
1
(Ω) : v(x) = 0, x ∈ Γ
0
}.
1.2. Определение схемы МКЭ.
Пусть T
h
— разбиение (триангуляция) области Ω на лагаранжевы
конечные элементы τ одного типа (аффинно-эквивалентные, изопара-
метрические или криволинейные элементы); предполагается, что все
граничные точки Γ
0
являются вершинами каких либо элементов.
1)
Введем обозначения: Ω
h
=
∪
τ∈T
h
τ; Γ
h
0
, Γ
h
1
— части границы области
Ω
h
, соответствующие Γ
0
и Γ
1
(Γ
h
0
замкнуто); ω
h
=
∪
τ∈T
h
ω
τ
— множе-
ство всех узлов интерполяции (сетка узлов в
¯
Ω), γ
h
множество узлов
интерполяции, принадлежащих Γ
h
0
. Определим пространство конеч-
ных элементов (аппроксимацию H
1
(Ω)):
S
h
= {v ∈ C(
¯
Ω
h
) ∩ H
1
(Ω
h
) : v
τ
∈ P
τ
∀ τ ∈ T
h
},
а также аппроксимации множества функций V и пространства V
0
:
V
h
= {v ∈ S
h
: v(x) = u
D
(x), x ∈ γ
h
},
V
0
h
= {v ∈ S
h
: v(x) = 0, x ∈ γ
h
}.
Построение приближенного решения задачи (1.3) по методу ко-
нечных элементов сводится к отысканию такой функции u
h
∈ V
h
, что
для любого v
h
∈ V
0
h
имеет место равенство
∫
Ω
h
(c∇u
h
· ∇v
h
+ b · ∇u
h
v
h
+ au
h
v
h
) dx +
∫
Γ
h
1
σu
h
v
h
dx =
=
∫
Ω
h
fv
h
dx +
∫
Γ
h
1
µv
h
dx. (1.4)
1)
под лагранжевым конечным элементом понимается тройка (τ, ω
τ
, P
τ
), где τ — замкнутая
область простой формы (обычно треугольник или четырехугольник, возможно криволиней-
ные); ω
τ
— множество точек на τ, называемых узлами интерполяции; P
τ
— конечномерное
пространство функций на τ такое, что любая функция из P
τ
однозначно определяется через
свои значения в точках ω
τ
. Область τ также называют конечным элементом, а под h понимают
максимальный диаметр элементов из T
h
.
6                 Глава 1. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов


Здесь V — аффинное множество функций, V 0 — пространство проб-
ных функций (H 1 (Ω) — пространство Соболева):
                 V = {v ∈ H 1 (Ω) : v(x) = uD (x), x ∈ Γ0 },
                  V 0 = {v ∈ H 1 (Ω) : v(x) = 0, x ∈ Γ0 }.

1.2. Определение схемы МКЭ.

   Пусть Th — разбиение (триангуляция) области Ω на лагаранжевы
конечные элементы τ одного типа (аффинно-эквивалентные, изопара-
метрические или криволинейные элементы); предполагается, что все
граничные точки Γ0 являются вершинами каких либо элементов.1)
Введем обозначения: Ωh = ∪ τ ; Γh0 , Γh1 — части границы области
                                   τ ∈Th
Ωh , соответствующие Γ0 и Γ1 (Γh0 замкнуто); ωh = ∪ ωτ — множе-
                                                                   τ ∈Th
ство всех узлов интерполяции (сетка узлов в Ω̄), γh множество узлов
интерполяции, принадлежащих Γh0 . Определим пространство конеч-
ных элементов (аппроксимацию H 1 (Ω)):
             Sh = {v ∈ C(Ω̄h ) ∩ H 1 (Ωh ) : v      τ
                                                        ∈ Pτ ∀ τ ∈ Th },
а также аппроксимации множества функций V и пространства V 0 :
                    Vh = {v ∈ Sh : v(x) = uD (x), x ∈ γh },
                        Vh0 = {v ∈ Sh : v(x) = 0, x ∈ γh }.
    Построение приближенного решения задачи (1.3) по методу ко-
нечных элементов сводится к отысканию такой функции uh ∈ Vh , что
для любого vh ∈ Vh0 имеет место равенство
  ∫                                          ∫
     (c∇uh · ∇vh + b · ∇uh vh + auh vh ) dx + σuh vh dx =
    Ωh                                                  Γh1
                                                        ∫               ∫
                                                  =         f vh dx +         µvh dx. (1.4)
                                                      Ωh                Γh1
    1)
    под лагранжевым конечным элементом понимается тройка (τ, ωτ , Pτ ), где τ — замкнутая
область простой формы (обычно треугольник или четырехугольник, возможно криволиней-
ные); ωτ — множество точек на τ , называемых узлами интерполяции; Pτ — конечномерное
пространство функций на τ такое, что любая функция из Pτ однозначно определяется через
свои значения в точках ωτ . Область τ также называют конечным элементом, а под h понимают
максимальный диаметр элементов из Th .

Страницы