Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Алгоритм формирования системы МКЭ 9
Решая эту систему находим неизвестные u
j
, j ∈ i
n
, а приближенное
решение нашей задачи (1.3) — по первой формуле в (1.5).
Запишем систему (1.8) в матричном виде. Для этого нам нуж-
но пронумеровать неизвестные по порядку. Пусть n
ω
(n
d
) — чис-
ло элементов в i
n
(i
d
) и пусть i
n
= [i
1
, i
2
, . . . , i
n
ω
], т.е. i
n
(k) = i
k
,
k = 1, 2, . . . , i
n
ω
(аналогично, i
d
= [j
1
, j
2
, . . . , j
n
d
], i
d
(k) = j
k
, k =
1, . . . , i
n
d
). Образуем вектор столбец неизвестных u
0
, матрицу K
0
и
вектор F
0
:
u
0
= {u
i
n
(k)
}
n
ω
k=1
, K
0
= {a
i
n
(k), i
n
(l)
}
n
ω
k,l=1
, F
0
= {F
i
n
(k)
}
n
ω
k=1
.
Тогда система (1.8), очевидно, запишется в виде
K
0
u
0
= F
0
. (1.9)
Формулы (1.6), (1.7) дают некоторый способ вычисления элемен-
тов матрицы K
0
и вектора F
0
, но ими непосредственно не пользуются
при практических вычислениях, т.к. существует более удобный и бо-
лее экономичный метод, который мы и рассмотрим. По традиции K
0
называют глобальной матрицей жесткости, F
0
— глобальным векто-
ром сил.
§ 2. Алгоритм формирования системы МКЭ
Система алгебраических уравнений (1.9) полностью определяется
матрицей A и вектором Φ. Поэтому сначала рассмотрим принятый в
МКЭ способ их вычисления.
2.1. Алгоритм вычисления матрицы A и вектора Φ.
Из формулы (1.6) следует, что матрица A есть сумма двух квад-
ратных матриц размерности n
p
× n
p
: A = K + H,
1)
K =
{
∫
Ω
h
(c∇φ
j
· ∇φ
i
+ b · ∇φ
j
φ
i
+ aφ
j
φ
i
) dx
}
, H =
{
∫
Γ
h
1
σφ
j
φ
i
dx
}
.
1)
отметим, что H — симметричная матрица; K является симметричной, если b есть тожде-
ственно нулевая вектор-функция.
§ 2. Алгоритм формирования системы МКЭ                                                      9


Решая эту систему находим неизвестные uj , j ∈ in , а приближенное
решение нашей задачи (1.3) — по первой формуле в (1.5).
      Запишем систему (1.8) в матричном виде. Для этого нам нуж-
но пронумеровать неизвестные по порядку. Пусть nω (nd ) — чис-
ло элементов в in (id ) и пусть in = [i1 , i2 , . . . , inω ], т.е. in (k) = ik ,
k = 1, 2, . . . , inω (аналогично, id = [j1 , j2 , . . . , jnd ], id (k) = jk , k =
1, . . . , ind ). Образуем вектор столбец неизвестных u0 , матрицу K0 и
вектор F0 :

       u0 = {uin (k) }nk=1
                        ω
                           ,   K0 = {ain (k), in (l) }nk,l=1
                                                        ω
                                                             ,   F0 = {Fin (k) }nk=1
                                                                                  ω
                                                                                     .

Тогда система (1.8), очевидно, запишется в виде

                                      K0 u0 = F0 .                                       (1.9)

    Формулы (1.6), (1.7) дают некоторый способ вычисления элемен-
тов матрицы K0 и вектора F0 , но ими непосредственно не пользуются
при практических вычислениях, т.к. существует более удобный и бо-
лее экономичный метод, который мы и рассмотрим. По традиции K0
называют глобальной матрицей жесткости, F0 — глобальным векто-
ром сил.

             § 2. Алгоритм формирования системы МКЭ

   Система алгебраических уравнений (1.9) полностью определяется
матрицей A и вектором Φ. Поэтому сначала рассмотрим принятый в
МКЭ способ их вычисления.

2.1. Алгоритм вычисления матрицы A и вектора Φ.

   Из формулы (1.6) следует, что матрица A есть сумма двух квад-
ратных матриц размерности np × np : A = K + H,1)
    {∫                                        }      {∫          }
K=      (c∇φj · ∇φi + b · ∇φj φi + aφj φi ) dx , H =    σφj φi dx .
        Ωh                                                                 Γh1

  1)
    отметим, что H — симметричная матрица; K является симметричной, если b есть тожде-
ственно нулевая вектор-функция.

Страницы