Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Алгоритм вычисления матрицы A и вектора Φ. 11
называется матрицей жесткости элемента τ
ℓ
(локальной матрицей
жесткости). Преобразуем равенство (1.11). Введем в рассмотрение
матрицу
˜
K
ℓ
размера n
p
× n
p
, состоящую из нулей, за исключением
m
2
τ
элементов, которые определим так:
˜
K
ℓ
t
αℓ
,t
βℓ
= k
ℓ
αβ
, α, β = 1, . . . , m
τ
.
Тогда формула (1.11) примет вид
K u · v =
n
t
∑
ℓ=1
m
τ
∑
α,β=1
˜
K
ℓ
t
αℓ
,t
βℓ
u
t
βℓ
v
t
αℓ
=
n
t
∑
ℓ=1
n
p
∑
i,j=1
˜
K
ℓ
ij
u
j
v
i
=
=
n
t
∑
ℓ=1
˜
K
ℓ
y · v =
(
n
t
∑
ℓ=1
˜
K
ℓ
)
u · v,
откуда в силу произвольности векторов u и v вытекает, что
K =
n
t
∑
ℓ=1
˜
K
ℓ
.
Последнее равенство показывает, что глобальную матрицу жестко-
сти можно получить суммированием по всем конечным элементам
локальных матриц жесткости. Поскольку нули не имеет смысла сум-
мировать, приходим к следующему алгоритму, известному как алго-
ритм сборки матрицы жесткости.
Алгоритм сборки матрицы жесткости (вклад элементов).
• Положить K = 0 (K — матрица размера n
p
× n
p
).
• Для каждого ℓ = 1, 2, . . . , n
t
:
• вычислить K
ℓ
(размера m
τ
× m
τ
).
• для α, β = 1, . . . , m
τ
суммировать: K
t
αℓ
,t
βℓ
= K
t
αℓ
,t
βℓ
+ k
ℓ
αβ
.
Аналогичные соображения приводят к алгоритму вычисления F .
2.1. Алгоритм вычисления матрицы A и вектора Φ.                                                   11


называется матрицей жесткости элемента τℓ (локальной матрицей
жесткости). Преобразуем равенство (1.11). Введем в рассмотрение
матрицу K̃ ℓ размера np × np , состоящую из нулей, за исключением
m2τ элементов, которые определим так:

                     K̃tℓαℓ ,tβℓ = kαβ
                                    ℓ
                                       ,         α, β = 1, . . . , mτ .

Тогда формула (1.11) примет вид

             ∑
             nt ∑
                mτ                                   ∑
                                                     nt ∑
                                                        np
 Ku·v =                  K̃tℓαℓ ,tβℓ utβℓ vtαℓ   =               K̃ijℓ uj vi =
             ℓ=1 α,β=1                               ℓ=1 i,j=1
                                                          ∑nt                    (∑
                                                                                  nt          )
                                                       =         K̃ y · v =
                                                                   ℓ
                                                                                        K̃ u · v,
                                                                                          ℓ

                                                           ℓ=1                    ℓ=1

откуда в силу произвольности векторов u и v вытекает, что
                                                 ∑
                                                 nt
                                       K=              K̃ ℓ .
                                                 ℓ=1

Последнее равенство показывает, что глобальную матрицу жестко-
сти можно получить суммированием по всем конечным элементам
локальных матриц жесткости. Поскольку нули не имеет смысла сум-
мировать, приходим к следующему алгоритму, известному как алго-
ритм сборки матрицы жесткости.

 Алгоритм сборки матрицы жесткости (вклад элементов).

• Положить K = 0 (K — матрица размера np × np ).
• Для каждого ℓ = 1, 2, . . . , nt :
     • вычислить K ℓ (размера mτ × mτ ).
     • для α, β = 1, . . . , mτ суммировать: Ktαℓ ,tβℓ = Ktαℓ ,tβℓ + kαβ
                                                                      ℓ
                                                                         .


Аналогичные соображения приводят к алгоритму вычисления F .

Страницы