Элементы экономико-математического моделирования. Давнис В.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Элементы ЭММ
47
Порядок выполнения задания
1. Рассмотрим аналитическое решение данной задачи .
Так как бюджетное ограничение в оптимальной точке должно
выполняться как равенство, т .е.
,300x10x5
*
2
*
1
=+
(1)
и в силу того, что все товары необходимы, т .е. условие
неотрицательности переменных будет выполнено автоматически ,
условия локального экстремума (5), (7) для данной задачи примут
вид следующей системы уравнений:
=+
==
100x10x5
2
1
10
5
x
x2
*
2
*
1
*
1
*
2
(2)
Из первого условия вытекает , что
*
1
*
2
xx4 =
; подставляем это
соотношение во 2-ое уравнение системы (2) и находим:
3
40
x
*
1
=
;
3
10
x
*
2
=
.
Следовательно, оптимальный набор товаров
,
3
40
(x
*
=
)
3
10
,
а максимальная функция полезности
max
U =25,2
2. Геометрическое решение данной задачи состоит в следующем .
Допустимое множество (то есть множество наборов благ,
доступных для потребителя) представляет треугольник,
ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом
множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой
безразличия с максимальным уровнем полезности . Поиск этой
точки можно интерпретировать графически как последовательный
переход на линии все более высокого уровня полезности до тех
пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым
множеством.
Графическая иллюстрация решения данной задачи , когда
бюджетная прямая имеет вид уравнения
100x10x5
2
1
=
+
, а
уровень максимальной полезности
3/1
2
3/2
1
xx3
= 25,2
представлена на рис. 
                                                      Элементы ЭММ


                     Порядок выполнения задания

1. Рассмотрим аналитическое решение данной задачи.

Так как бюджетное ограничение в оптимальной точке должно
выполняться как равенство, т.е.
     5 x1* +10x *2 =300,                                   (1)
и в силу того, что все товары необходимы, т.е. условие
неотрицательности переменных будет выполнено автоматически,
условия локального экстремума (5), (7) для данной задачи примут
вид следующей системы уравнений:
         �2 x *2    5 1
         �
         � *     =     =
         � 1x      10    2                                 (2)
         � *           *
         �
         �5 x 1  +10 x 2 =100

Из первого условия вытекает, что 4 x *2 =x1* ; подставляем это
соотношение во 2-ое уравнение системы (2) и находим:
              40         10
     x 1* =      ; x *2 = .
               3          3
                                                       40 10
Следовательно, оптимальный набор товаров x * =(           ,   ),
                                                        3   3
а максимальная функция полезности U max =25,2
2. Геометрическое решение данной задачи состоит в следующем.
Допустимое множество (то есть множество наборов благ,
доступных для потребителя) представляет треугольник,
ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом
множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой
безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой
точки можно интерпретировать графически как последовательный
переход на линии все более высокого уровня полезности до тех
пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым
множеством.
      Графическая иллюстрация решения данной задачи, когда
бюджетная прямая имеет вид уравнения 5 x1 +10x 2 =100 , а
уровень максимальной полезности 3x 12 / 3 x 12/ 3 = 25,2
представлена на рис.



                                   47

Страницы