Составители:
Рубрика:
Определение 2. Пусть K – функциональное поле. Расшире-
ние K(Θ
1
, . . . , Θ
n
)поля K называется полем элементарных функ-
ций над K, если каждая функция Θ
i
является элементарной обра-
зующей над K.
Функции, принадлежащие некоторому полю элементарных функ-
ций над K, называются элементарными.
Обычно в качестве K рассматривают поле C(x) рациональных
функций.
Примеры. Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции элементарны над полем C(x). Например, sin x =
1
2i
(e
ix
+
e
−ix
) =
1
2i
(Θ +
1
Θ
), где Θ – экспонента от ix. Д алее
arctgx = log
x + i
x − i
.
Класс элементарных над K функций обозначается K(elem).
Ранее было показано, что каждая рациональная функция обла-
дает элементарным интегралом, причём он имеет вид суммы раци-
ональной функции (для её вычисления не нужны никакие алгебра-
ические расширения) и логарифмов с постоянными коэффициента-
ми.
Оказывается, имеет место значительно более общее утвержде-
ние.
Теорема (Принцип Лиувилля). Пусть f – функция из
некоторого функционального поля K. Если f обладает элементар-
ным над K интегралом, то этот интеграл имеет следующий вид
Z
f dx = v
0
+
n
X
i=1
c
i
log v
i
, (9.4)
где v
0
– из поля K, а v
i
– из его расширения
b
K, полученного добав-
лением конечного числа алгебраических над K констант; далее c
i
– константы из поля
b
K.
Итак, если f интегрируема в элементарных функциях над K, то
она необходимо имеет вид
f = v
0
0
+
n
X
i=1
c
i
v
0
i
v
i
. (9.5)
96
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
