Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

и сделаем замену переменных x = 2x
0
. Тогда получим
Z
2g
n
(2x
0
)ϕ(2x
0
− j) dx
0
= δ
n,j
;
последнее означает, что система функционалов
{
√
2g
n
(2x
0
)} (24.6)
биортогональна системе функций {
√
2ϕ(2x
0
−j)}. Учитывая обо-
значения (24.3), приходим к выводу, что система функционалов
(24.6) биортогональна системе функций {ϕ
1,l
}. Нетрудно также
удостовериться в справедливости требования 1) в определении 7.
Таким образом, система {ϕ
1,l
} действительно является базисом
Рисса в V
1
.
Аналогичным образом устанавливается, что множество функ-
ций
{ϕ
j,l
| ϕ
j,l
(x)
def
=
√
2
j
ϕ(2
j
x − l)}
является базис ом Рисс а в V
j
при j = 2, 3, . . .
Первый пункт заключения теоремы доказан.
Cогласно пункту 4) определения 18 функция ϕ(x) лежит в
пространстве V
0
, а ввиду включения V
0
⊂ V
1
эта функция ле-
жит также в пространстве V
1
. Следовательно, ее можно пред-
ставить в виде линейной комбинации элементов только что упо-
мянутого базиса, ϕ(x) = 2
P
n
h
n
ϕ
1,n
(x), что в силу определения
функций ϕ
1,n
(x) эквивалентно соотношению (24.1). Для доказа-
тельства равенства (24.2) достаточно проинтегрировать соотно-
шение (24.1) по всей вещественной оси и воспользоваться свой-
ством 4) из опред ел ени я 18.
У П Р А Ж Н Е Н И Я
1. Что такое пространство L
1
? Какие из функций e
−x
2
, e
−x
,
sin(x), e
−|x|
, −x, e
−x
3
, −x
5
,e
−|x|
5
,
1
x
лежат в L
1
?
2. Как выглядит преобразование Фурье обобщенной функции
Хевисайда? функции Гаусса?
72

Страницы