Составители:
причем
X
n
h
n
= 1. (24.2)
Доказательство. Покажем сначала, что множество функ-
ций {ϕ
1,l
}, где
ϕ
1,l
(x)
def
=
√
2ϕ(2x − l) (24.3)
представляет собой базис пространства V
1
. Действительно, со-
гласно пункту 1) определения 18 какова бы ни была функция
u(x) ∈ V
1
, функция v, построенная по формуле
v(x) = u(x/2), (24.4)
лежит в пространстве V
0
. Ввиду пункта 4) того же определения
множество {ϕ(x−l) | l ∈ Z} является базисом Рисса в V
0
, откуда
следует, что существует представление v(x) =
P
j
c
j
ϕ(x −j). За-
меняя здесь переменную x на 2x
0
, найдем v(2x
0
) =
P
j
c
j
ϕ(2x
0
−j);
это в силу формул (24.3) и (24.4) эквивалентно тождеству
u(x
0
) =
X
j
c
j
ϕ
1,j
(x
0
).
Принимая во внимание произвольность выбора функции u из
пространства V
1
и очевидную линейную независимость системы
(24.3), видим, что система (24.3) — базис пространства V
1
. По-
скольку система {ϕ
0,j
} (здесь ϕ
0,j
(x) = ϕ(x − j)) — базис Рисса
в V
0
, то существует биортогональная к ней система ли не йных
функционалов {g
n
},
g
n
[ϕ
0,j
] = δ
n,j
, (24.5)
где квадратными скобками обозначено применение функционала
g
n
к функции ϕ
0,j
. Обозначив g
n
(x) реализацию функционала
g
n
в виде функции в с калярном произведении пространства L
2
(по теореме Рисса такая реализация существует и единственна),
соотношение (24.5) пере пиш ем в виде
Z
g
n
(x)ϕ(x − j) dx = δ
n,j
71
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
