Составители:
§ 24. Кратно-масштабный анализ в L
2
При построении теории всплесков в качестве всплесковой ба-
зы V
j
и в качестве пространства всплесков W
j
мы рассматри-
вали векторные пространства (линейные системы) с элементами
из гильбертова пространства L
2
. Тем самым не требовалась их
замкнутость в метрике L
2
; поэтому мы избегали использовать
термин "подпространство" в отношении этих пространств (этот
термин обычно используется в отношении замкнутых линейных
систем, лежащих в банаховом или в гильбертовом пространстве).
Поэтому нами рассматривались лишь конечные суммы в разло-
жении по базису (напомним, что рассматривался алгебраический
базис), в кратно-масштабном уравнении и в связанных с ними си-
туациях. Это упростило рассуждения, не сделав их менее прак-
тичными, ибо на практике чаще всего применяются именно ко-
нечные суммы.
Расширение класса рассматриваемых объектов — подключе-
ние к рассмотрению разумно отобранных бесконечных сумм —
возможно на пути пополнения (в смысле метрики L
2
) упомя-
нутых векторных пространств. Один из вариантов такого рас-
ширения — так называемый кратно-масштабный анализ в L
2
, к
краткому рассмотрению которого мы и переходим.
Кратно-масштабный анализ в L
2
(R
1
) задается некоторым на-
бором аксиом (см. ниже определение 18).
Сначала напомним понятие базиса Рисса.
Определение 17. Базисом Рисса в в гильбер товом про-
странстве H со скалярным произведением < ·, · > называется
система элементов {ψ
n
} такая, что для нее существует биорто-
гональная система элементов {g
n
}, т.е. hg
n
, ψ
k
i = δ
n,k
, причем
1) для любого элемента f ∈ H
X
n
|hf, g
n
i|
2
< +∞,
2) для любой последовательности чисел a
n
∈ l
2
существует
элемент f ∈ H такой, что a
n
= hg
n
, fi.
69
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
