Составители:
2)
X
k
b
ψ(ξ + 2πk) bϕ(ξ + 2πk) = 0, ∀ξ ∈ R
1
, (23.2)
а также выполнено любое из следующих равносильных условий:
1)
X
k
|
b
ψ(ξ + 2πk)|
2
≡ 1, (23.3)
2)
|G(ξ)|
2
+ |G(ξ + π)|
2
≡ 1, (23.4)
3)
X
k
g
k
g
k−2j
=
1
2
δ
0,j
, (23.5)
где G(ξ) — характеристика функции ψ(x) при образующей ϕ(ξ),
а g
k
— еe коэффициенты Фурье (см. формулы (6.4)–(6.5)).
Тогда система
ψ
j,l
(x)
def
=
√
2
j
ψ(2
j
x − l), ∀l ∈ Z, (23.6)
является ортонормированным базисом в E.
Доказательство. Любое из соотношений (23.1), (23.2) вле-
чет выполнение условий теоремы 10, и, значит, прямое разло-
жение пространства E переходит в ортогональное (см. формулу
(21.2)),
E = ⊕
σ
W
σ
. (23.7)
Любое из соотнош ени й (23.3)–(23.5) согласно теореме 13 означа-
ет, что система (23.6) представляет собой ортонормированый ба-
зис в каждом слагаемом пространстве W
σ
ортогональной суммы
(23.7), и потому объединение систем (23.6) является ортонорми-
рованным базисом в E.
Следствие 13. В условиях теоремы 18 для любого элемен-
та f ∈ E справедливо ортогональное представление (обобщен-
ный ряд Фурье) f =
P
σ,l
γ
σ,l
ψ
σ,l
, где γ
σ,l
= hf, ψ
σ,l
i.
Доказательство ле гко вытекает из теорем ы 18.
68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
