Составители:
Задача отыскания базиса ψ
j,l
и чисел γ
j,l
для заданной функ-
ции f(x) рассматривается в дальнейшем.
§ 22. Ортогональное разложение цепочки
вложенных пространств
Здесь будет рассматриваться условия ортогональности про-
странств прямой суммы (21.2) в скалярном произведении h·, ·i
пространства L
2
.
Теорема 18. В условиях (A)–(C) ортогональность про-
странств V
j
и W
j
при фиксированном целом j эквивалентна
любому из равносильных условий
1)
hψ(·), ϕ(· − l)i = 0, ∀l ∈ Z, (22.1)
2)
X
k
b
ψ(ξ + 2πk)
bϕ(ξ + 2πk) = 0, ∀ξ ∈ R
1
.
Доказательство. Сначала докажем, что ортогональность про-
странств V
j
и W
j
при фиксированном целом j эквивалентна ор-
тогональности V
0
и W
0
. По формулам (21.6) и (21.7) имеем
hψ
j,l
, ϕ
j,l
0
i = 2
j
Z
ψ(2
j
x − l)ϕ(2
j
x − l
0
) dx,
так что после подстановки x
0
= 2
j
x − l, обозначив l
00
= l
0
− l,
найдем
hψ
j,l
, ϕ
j,l
0
i =
Z
ψ(x
0
)ϕ(x
0
− l
00
) dx
0
. (22.2)
Поскольку ортогональность пространств эквивалентна ортого-
нальности их базисов, то из (22.2) следует ортогональность про-
странств V
0
и W
0
. Осталось сослаться на теорему 10.
Следствие 12. В условиях теоремы 11 из ортогонально-
сти пространств V
j
и W
j
при целом фиксированном j ∈ Z
следует
66
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
