Составители:
Замечание. Фактически первое требование заменяет нера-
венство Бесселя, а второе — теорему Рисса. Н.К.Бари доказала,
что система {ψ
n
} является системой Рисса тогда и только тогда,
когда существует линейный непрерывный обратимый в H опе-
ратор A такой, что система {Aψ
n
} является полной и ортонор-
мированной; это эквивалентно также тому, что матрица Грама
hψ
n
, ψ
k
i
определяет линейный непрерывный обратимый опера-
тор в l
2
.
Определение 18. Говорят, что в L
2
задан кратно-масш-
табный анализ, если последовательность подпространств V
σ
∈
L
2
, σ ∈ Z, образует цепочку вложенных пространств,
. . . ⊂ V
−2
⊂ V
−1
⊂ V
0
⊂ V
1
⊂ V
2
⊂ . . .
со следующими свойствами:
1) v(x) ∈ V
σ
⇐⇒ v(2x) ∈ V
σ+1
,
2) v(x) ∈ V
0
⇐⇒ v(x + 1) ∈ V
0
,
3)
S
σ
V
σ
плотно в L
2
и
T
σ
V
σ
= {0},
4) существует функция ϕ ∈ V
0
с ненулевым средним,
Z
ϕ(x) dx 6= 0,
такая, что множество функций
{ϕ(x − l) | l ∈ Z}
является базисом Рисса в V
0
.
Теорема 20. Справедливы следующие свойства:
1) мно жество функций
{ϕ
j,l
| ϕ
j,l
(x)
def
=
√
2
j
ϕ(2
j
x − l)}
является ба зисом Рисса в V
j
,
2) существует последовательность чисел {h
n
} простран-
ства l
2
такая, что
ϕ(x) = 2
X
n
h
n
ϕ(2x − n), (24.1)
70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
