Составители:
Глава 3
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пусть f- полином или трансцендентная функция одного переменного, действительного или комплексного.
Задача состоит в том, чтобы найти один или более нулей f, т. е. решений уравнения f(x)=0. Нахождение
формул для нулей полиномов было одним из важнейших разделов итальянской математики эпохи Ренессанса.
Для полиномов 2-й, 3-й и 4-й степеней ещё несколько столетий назад были найдены алгоритмы, выражающие
корни посредством конечного числа квадратичных или кубичных радикалов и рациональных операций. Но
только в тридцатых года прошлого века Галуа доказал невозможность подобных алгоритмов для полиномов
5-й или более высокой степени, даже если допустить в формулах радикалы с показателем n.
§ 1. Уравнения с одним неизвестным. Метод деления пополам. Метод хорд. Метод
касательной. Метод простой итерации.
1.1 Уравнения с одним неизвестным
Вводные замечания
Нахождения корней нелинейных уравнений вида
F(x)=0
1.1.1 Метод деления пополам
Пусть дано уравнение
F(x)=0 (3.1)
где функция f(х) непрерывна на [а, b] и f(a)f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения (3.1), принадлежащего
отрезку [а, b], делим этот отрезок пополам. Если
( )0
2
ab
f
+
=
, т
2
ab
ξ
+
=
является корнем уравнения. Если
0
2
ab
f
+
= ≠
, то выбираем ту из половин
,
2
ab
a
+
или
,
2
ab
b
+
, на концах которой функция f(x) имеет
противоположные знаки. Новый суженный отрезок
11
,
ab
снова делим пополам и проводим то же
рассмотрение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (3.1), или же
бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков
11
,
ab
,
22
,
ab
, . . . ,
,
nn
ab
, . . .
таких, что
( ) ( )
( )
0 1,2,...
nn
ff n
ab
<=
(3.2)
( )
1
.
2
n
nn
ba ba
−= −
(3.3)
Так как левые концы образуют монотонную неубывающую ограниченную
последовательность, а правые концы
—монотонную невозрастающую ограниченную
последовательность, то в силу равенства (
(3.3) существует общий предел
lim lim
nn
nn
ab
ξ
→∞ →∞
= =
Переходя к пределу при в неравенстве (3.2), в силу непрерывности функции f(x) получим
. Отсюда , т. е.
ξ
является корнем уравнения , причем, очевидно,
( )
1
0
2
n
n
a ba
ξ
≤ −≤ −
(3.4)
Если корни уравнения (3.1) не отделены на отрезке [а, b], то таким способом можно найти один из корней
уравнения (3.3).
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного
уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.
Заметим, что метод половинного деления легко реализуется на электронных счетных машинах. Программа
вычисления составляется так, чтобы машина находила значение правой части уравнения (3.3) в середине
каждого из отрезков
и выбирала соответствующую половину его.
Пример. Методом половинного деления уточнить корень уравнения
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
