Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 162 стр.

UptoLike

Составители: 

§4. Генерация случайных чисел с распределением Пуассона.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, равную числу событий, произошедших за
фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней
интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона - это дискретное распределение, являющееся одним из важных предельных случаев
биномиального распределения. При росте n и зафиксированном значении произведения np=λ > 0
биномиальное распределение B(n,p) сходится
к распределению Пуассона. Таким образом, случайная
величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ, принимает неотрицательные целые значения с
вероятностью P.
Выберем фиксированное число λ > 0 и определим дискретное распределение, задаваемое следующей
функцией вероятности:
λ
λ
ξ
=== e
n
nPp
n
n
!
)(
Функция распределения равна
=
=
x
n
n
n
exF
0
!
)(
λ
λ
Параметр λ является одновременно и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины,
имеющей распределение Пуассона. Часто параметр называется интенсивностью.
Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:
)1(
)(
=
t
e
y
etM
λ
,
откуда
,
.
Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин,
проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен. Также можно отметить такие
примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной
длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу
за заданный
период времени.
Биномиальное распределение B(n,p) - это распределение числа успехов в серии из n экспериментов, каждый
из которых завершается успехом с вероятностью p. Важными предельными случаями биномиального
распределения являются распределение Пуассона и нормальное распределение.
Если X - биномиальная случайная величина, то
)1,()(
)1()(
1
+=
==
kknlkXP
pp
k
n
kXP
p
knk
§5. Генерация случайных чисел с показательным законом распределения.
Определение.
Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х, которое описывается плотностью
<
=
0,
0,0
)(
приxe
приx
xf
x
λ
λ
где
λ - положительное число.
Найдем закон распределения.
x
xx
x
edxedxdxxfxF
λλ
λ
−∞
=+==
∫∫
10)()(
0
0
<
=
0,1
0,0
)(
приxe
приx
xF
x
λ