Составители:
Графики функции распределения(рисунок 11.3) и плотности распределения(рисунок 11.4):
f(x) F(x)
0 x 0 x
Рисунок 11.3 Рисунок 11.4
Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−=
==
===
∫∫∫∫
∞∞
−−
−
−
∞
∞−
∞
−
000
,,
,,
)( dx
exe
v
e
dxdu
dvdxexu
dxexdxxxfm
xx
x
x
x
x
λλ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
1
0
0
=−==
∞
−
∞
−
∫
x
x
e
dxe
Результат получен с использованием того факта, что
0
1
0
limlim
0
=
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−=
∞→
∞
∞→
−
∫
x
ч
x
x
x
e
Лопиталя
правилуПо
e
x
xe
λλ
λ
λ
Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х2).
dxexdxxfxXM
x
∫∫
∞
∞−
∞
−
==
0
222
)()(
λ
λ
Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:
2
2
2
)(
λ
=XM
[]
2
2
2
1
)()()(
λ
=−= XMXMXD
Тогда
λ
σ
λ
λ
1
;
1
)(;
1
)(
2
===
x
XDXM
Итого:
Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение равны.
Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону
распределения, в заданный интервал.
ba
eeaFbFbxaP
λλ
−−
−=−=<< )()()(
Показательное распределение широко используется в теории надежности.
Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t0=0, а через какое– то время t
происходит отказ устройства.
Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.
Таким образом, функция распределения F(t) = P(T<t) определяет вероятность отказа за время длительностью t.
Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени
t) равна R(t)=P(T>t) = 1–F(t).
