ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. По условию
задачи большая полуось а = 3, 5=c . Для эллипса выполняется равенство
b
2
= a
2
− с
2
. Подставив в него значения а и c, найдем
()
453
2
22
=−=b .
Искомое уравнение эллипса
1
49
22
=+
yx
.
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
. По условию
мнимая полуось b = 2, а с =
13
. Для гиперболы справедливо равенство
b
2
= с
2
− a
2
. Поэтому а
2
= с
2
− b
2
=
(
)
9213
2
2
=−
. Записываем искомое
уравнение гиперболы:
;1
49
22
=−
yx
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид
у
2
= 2рх, а уравнение ее директрисы х = − р/2. Но по условию задачи
уравнение директрисы х= − 3. Поэтому − р/2= −3, р = 6 и искомое
каноническое уравнение параболы имеет вид у
2
=12х.
2. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы
эллипса х
2
+ 4y
2
= 4 и имеющей центр в его точке.
Для данного эллипса 1
14
22
=+
yx
верхняя точка A (0, 1), a = 2, b = 1.
Поэтому
314
22
=−=−= bac
и фокусы находятся в точках
F( 3− , 0), F
2
( 3 ,0). Радиус R искомой окружности вычисляем по
формуле расстояния между двумя точками:
()
()
2131003
2
2
21
=+=−+−===
m
FAFAR
В соответствии с уравнением (4.2) записываем искомое уравнение
окружности: (х − 0)
2
+ (у − 1)
2
= 2
2
или х
2
+ (у − 1)
2
= 4.
9
x2 y2
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид + = 1 . По условию
a2 b2
задачи большая полуось а = 3, c = 5 . Для эллипса выполняется равенство
b2= a2 − с2. Подставив в него значения а и c, найдем b 2 = 32 − ( 5 )2 = 4 .
x2 y2
Искомое уравнение эллипса + =1 .
9 4
x2 y2
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид − =1 . По условию
a2 b2
мнимая полуось b = 2, а с = 13 . Для гиперболы справедливо равенство
b2 = с2 − a2. Поэтому а2 = с2 − b2 = ( 13 )2 − 2 2 = 9 . Записываем искомое
x2 y2
уравнение гиперболы: − =1;
9 4
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид
у2 = 2рх, а уравнение ее директрисы х = − р/2. Но по условию задачи
уравнение директрисы х= − 3. Поэтому − р/2= −3, р = 6 и искомое
каноническое уравнение параболы имеет вид у2=12х.
2. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы
эллипса х2 + 4y2 = 4 и имеющей центр в его точке.
x2 y2
Для данного эллипса + = 1 верхняя точка A (0, 1), a = 2, b = 1.
4 1
Поэтому c = a 2 − b 2 = 4 −1 = 3 и фокусы находятся в точках
F( − 3 , 0), F2 ( 3 ,0). Радиус R искомой окружности вычисляем по
формуле расстояния между двумя точками:
R = AF1 = A F2 = (m 3 −0 )2 + (0 − 1)2 = 3+1 = 2
В соответствии с уравнением (4.2) записываем искомое уравнение
окружности: (х − 0)2 + (у − 1)2 = 22 или х2 + (у − 1)2 = 4.
