ВУЗ:
Составители:
37
()()()()(){
}
2121
0
21
a,amaxpRe,pFpFtfft
t
>=
∫
−=
⋅
⋅
ττϕ .
7. Дифференцирование изображения.
Пусть
(
)
(
)
apRe,tfpF >=
⋅
⋅
. Тогда
(
)
(
)
apRe,tftpF
'
>−=
⋅
⋅
8. Интегрирование изображения. Если функция
(
)
t
tf
удовлетворяет
условиям существования изображения и
(
)
(
)
apRe,pFtf >=
⋅
⋅
, то
(
)
(
)
()
∫
=
∫
=
∞
∞
−⋅
⋅
p
pt
dqqFdt
t
tf
e
t
tf
0
.
9. Теорема смещения. Если
(
)
(
)
apRe,pFtf >=
⋅
⋅
,
то для любого комплексного числа
λ
(
)
(
)
λλ
λ
ReapRe,tfepF
t
−>=+
−
⋅
⋅
.
Определение интеграла по изображению
При решении конкретных задач удается найти выражение оригинала для
полученного изображения в соответствующем справочнике.
Свойства изображений во многих случаях позволяют решить и обратную
задачу построения оригинала по заданному изображению.
Эти методы являются методами подбора. Общий метод построения
оригинала по изображению описывается формулой Меллина.
Формула Меллина. Пусть по условию задачи известно , что заданная
функция
(
)
pF
комплексной переменной
p
является изображением кусочно -
гладкой функции
(
)
tf
с ограниченной степенью роста
(
)
ta
eMtf <
, причем
значение постоянной
a
задано. Требуется по заданной функции
(
)
pF
построить искомую функцию
(
)
tf . Эта задача решается с помощью следующей
теоремы .
Теорема. Пусть известно, что заданная функция
(
)
pF в области
a
p
>
Re
является изображением кусочно-гладкой функции
(
)
tf
действительной переменной
t
и обладает степенью роста
a
.
Тогда
() ()
∫
>=
∞
+
∞−
ix
ix
pt
axdppFe
i
tf ,
2
1
π
. (2.31)
Формула (2.31) называется формулой Меллина. Она является обратной
преобразованию Лапласа.
Вычисление интеграла Меллина
Пусть функция
(
)
pF
, первоначально заданная в области
a
p
>
Re
, может
быть аналитически продолжена на всю плоскость
p
. Пусть ее аналитическое
37
t
ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ⋅ =⋅ F1 ( p ) F2 ( p ), Re p > max {a1 ,a2 }.
0
7. Ди ф ф ерен ци рован и еи зображ ен и я.
П усть F ( p )⋅ =⋅ f (t ) , Re p > a . Т ог д а F ' ( p )⋅ =⋅ − t f (t ) , Re p > a
f (t )
8. И н т егри рован и еи зображен и я. Е сли ф ункци я уд овлетворяет
t
услови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то
f (t ) ⋅ ∞ − pt f (t ) ∞
=
⋅ ∫ e dt = ∫ F (q )dq .
t 0 t p
9. Теорем а см ещен и я. Е сли
f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a ,
то д ля любог о комплексног о чи сла λ
F ( p + λ ) ⋅ =⋅ e − λ t f (t ), Re p > a − Re λ .
Опр еделени е и нтегр ала по и зо бр аж ени ю
П ри решени и конкретны х зад ачуд ается найти вы раж ени е ори г и нала д ля
полученног о и зображ ени я в соответствующем справочни ке.
С войства и зображ ени й во мног и х случаях позволяют реши ть и обратную
зад ачупостроени я ори г и нала по зад анномуи зображ ени ю.
Э ти метод ы являются метод ами под бора. О бщи й метод построени я
ори г и нала по и зображ ени ю опи сы вается ф ормулой М елли на.
Форм ула Мелли н а. П усть по услови ю зад ачи и звестно, что зад анная
ф ункци я F ( p ) комплексной переменной p является и зображ ени ем кусочно-
г лад кой ф ункци и f (t ) с ог рани ченной степень ю роста f (t ) < M e a t , при чем
значени е постоянной a зад ано. Т ребуется по зад анной ф ункци и F ( p )
построи ть и скомую ф ункци ю f (t ) . Э та зад ача решается спомощь ю след ующей
теоремы .
Тео р ем а. П уст ь и звест н о, ч т о задан н ая ф ун к ци я F ( p ) в област и
Re p > a являет ся и зображен и ем к усоч н о-гладк ой ф ун к ци и f (t )
дейст ви т ельн ой перем ен н ой t и обладает ст епен ью рост а a .
Тогда
1 x + i∞ pt
f (t ) = ∫ e F ( p )dp, x > a . (2.31)
2πi x − i∞
Ф ормула (2.31) назы вается ф ормулой М елли на. О на является обратной
преобразовани ю Л апласа.
Вы чи слени е и нтегр ала М елли на
П усть ф ункци я F ( p ) , первоначаль но зад анная в области Re p > a , мож ет
бы ть анали ти чески прод олж ена на всю плоскость p . П усть ееанали ти ческое
