Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
2. при
0
≥
t
функция
(
)
tf на любом конечном участке оси
t
имеет не более
чем конечное число точек разрыва первого рода;
3. при
∞
→
t
функция
(
)
tf имеет ограниченную степень роста, т.е. для
каждой функции рассматриваемого класса существуют такие положительные
постоянные
и
a
, что для всех
0
>
t
(
)
.
at
eMtf ≤ (2.29)
Точная нижняя грань тех значений
a
, для которых имеет место
неравенство (2.29), называется показателем степени роста функции
(
)
tf .
Теорема 1. Интеграл
()()
dttfepF
pt
∫
=
∞
−
0
сходится в области
a
p
>
Re
, где
a
- показатель степени роста функции
(
)
tf , причем в области axp
>
≥
0
Re
этот интеграл сходится равномерно.
Теорема 2. Изображение Лапласа
()()
dttfepF
pt
∫
=
∞
−
0
функции
(
)
tf
является аналитической функцией комплексной переменной
p
в области
a
p
>
Re
, где
a
- показатель степени роста функции
(
)
tf .
Изображение элементарных функций
1. Единичная функция Хевисайда. Пусть
()
≥
<
==
.0,1
,0,0
0
t
t
tf σ
Тогда
()()
∫
===
∞
−⋅
⋅
0
1
,
p
dtepFtf
pt
причем функция
(
)
pF
, очевидно , определена
в области
0
Re
>
p
.
Итак,
()
,
p
t,
t,
t
1
01
00
0
⋅
⋅
=
≥
<
=σ
0
Re
>
p
.
2. Показательная функция
(
)
t
etf
α
=
Вычисляя интеграл (2.28), получаем :
()
∫
−
==
∞
−
0
,
1
α
α
p
dteepF
tpt
α
Re
Re
>
p
;
α
α
−
=
⋅
⋅
p
e
t
1
,
α
Re
Re
>
p
.
3. Степенная функция
(
)
n
ttf = .
1
!
+
=
n
n
p
n
t
,
0
Re
>
p
.
4. Тригонометрические функции
(
)
ttf
ω
sin
=
,
(
)
ttf
ω
cos
=
. 
                                                35
   2. при t ≥ 0 ф ункци я f (t ) на любом конечном участкеоси t и меетнеболее
чем конечноечи сло точекразры ва первог о род а;
   3. при t → ∞ ф ункци я f (t ) и меет ог рани ченную степень роста, т.е. д ля
каж д ой ф ункци и рассматри ваемог о класса существуют таки е полож и тель ны е
постоянны е M и a , что д ля всех t > 0
                             f (t ) ≤ M eat .                                    (2.29)
     Т очная ни ж няя г рань тех значени й a , д ля которы х и меет место
неравенство (2.29), назы вается пок азат елем ст епен и рост а ф ункци и f (t ) .
                                          ∞
       Тео р ем а 1. И н т еграл F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt сходи т ся в област и Re p > a , где
                                           0
a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) , при ч ем в област и Re p ≥ x0 > a
эт от и н т еграл сходи т ся равн ом ерн о.
                                                                 ∞
       Тео р ем а 2. И зображен и е Л апласа F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt ф ун к ци и         f (t )
                                                                 0
являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей к ом плек сн ой перем ен н ой p в област и
Re p > a , где a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) .

       И зо бр аж ени е элем ентар ны х функ ци й
                                                                           0 , t < 0 ,
        1. Еди н и ч н ая ф ун к ци я Х еви сайда. П усть f (t ) = σ 0 = 
                                                                           1, t ≥ 0.
                             ∞
Т ог д а f (t ) ⋅ =⋅ F ( p )= ∫ e − pt dt = , при чем ф ункци я F ( p ) , очеви д но, опред елена
                                            1
                              0             p
в области Re p > 0 .
И так,
                                          0, t < 0 ⋅ 1
                               σ 0 (t ) =          ⋅=   , Re p > 0 .
                                          1, t ≥ 0    p
       2. П ок азат ельн ая ф ун к ци я f (t ) = eα t
В ы чи сляя и нтег рал(2.28), получаем:
                           ∞
                  F ( p ) = ∫ e − pt eα t dt =
                                                 1
                                                    , Re p > Re α ;
                            0                  p −α
                  eα t ⋅ =⋅
                                 1
                                       , Re p > Re α .
                              p −α
      3. С т епен н ая ф ун к ци я f (t ) = t n .
                                  n!
                         tn =          , Re p > 0 .
                                  n +1
                                p
   4. Три гон ом ет ри ч еск и еф ун к ци и f (t ) = sin ωt , f (t ) = cos ωt .

Страницы