Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 33 стр.

                                                                   33
                               ∞
                               ∫ f (x )dx = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ] ,
                                                             N

                              −∞                            n =1
г д е zk особы еточки ф ункци и f ( z ) в верхней полуплоскости .
Док азат ельст во:
        Рассмотри м замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка д ействи тель ной оси
− R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и полуокруж ности C R' , z = R в верхней полуплоскости .
В си луосновной теоремы теори и вы четов
                      R
                      ∫ f ( x )dx + ∫ f ( z )dz = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ].
                                                                        N
                                                                                                            (2.25)
                      −R                   C R'                     k =1

       П ред ел второг о слаг аемог о в левой части (2.25) при R → ∞ равен нулю;
правая часть (2.25) при R > R0 от R незави си т. С лед ователь но, пред ел первог о
слаг аемог о существует и ег о значени е опред еляется ф ормулой (2.25). Т еорема
д оказана.
                                       ∞
       2. И нтег ралы ви д а ∫ ei a x f ( x )dx .
                                       −∞
Л ем м а 2. (лем м а Ж ордан а ). П усть ф ункци я f ( z ) является анали ти ческой в
верхней полуплоскости Im z > 0 , за и сключени ем конечног о чи сла
и золи рованны х особы х точек, и равномерно относи тель но arg z (0 ≤ arg z ≤ π )
стреми тся кнулю при z → ∞ . Т ог д а при a > 0
                              ∞
                      lim ∫ ei a ζ f (ζ )dζ = 0 ,                                                           (2.26)
                      R →∞ C'
                                R

г д е C R' - д уг а полуокруж ности z = R в верхней полуплоскости z .
         Д оказатель ство:
                        f ( z ) < µ R , z = R , г д е µ R → 0 при R → ∞ .
О цени м и сслед уемы й и нтег рал. С д елаем заменупеременной: ζ = Reiϕ ,
                                                     2              π
восполь зуемся очеви д ны м соотношени ем sin ϕ ≥ ϕ при 0 ≤ ϕ ≤ . Т ог д а
                                                    π               2
получи м
                                      π                                 π
     ∫e
        i aζ
             f (ζ )dζ ≤ µ R ⋅ R ∫ e i             aζ
                                                       dϕ = µ R ⋅ R ∫ e − a R sin ϕ dϕ =
    C R'                               0                                0


                                                                                        (         )
               π /2                                         π /2      2a R
                       − a R sin ϕ                                   − π ϕ      π
    = 2µ R ⋅ R ∫ e                   dϕ < 2 µ R ⋅ R ∫              e       dϕ =      µ R 1 − e− a R → 0 .
                0                                            0                   a                 R→∞


      Е сли a < 0 , а ф ункци я f ( z ) уд овлетворяет услови ям леммы Ж орд ана в
ни ж ней полуплоскости Im z ≤ 0 , то ф ормула (2.26)            и меет место при
и нтег ри ровани и по д уг еполуокруж ности CR' в ни ж ней полуплоскости z .