Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
()()
[]
∑
=
∫
=
+
N
k
k
Г
zzfВычidf
1
,2 πζζ .
Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
Рассмотрим два вида интегралов :
1. Интегралы вида
()
∫
−∞
∞−
dxxf
.
Лемма 1. Пусть функция
(
)
zf
является аналитической в верхней
полуплоскости
0
Im
>
z
всюду, за исключением конечного числа
изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа
δ
,
,0
MR , что для всех точек верхней полуплоскости , удовлетворяющих
условию
0
Rz
>
, имеет место оценка
()
0
1
, Rz
z
M
zf ><
+ δ
.
Тогда
(
)
0
=
∫
∞→
ζ
ζ
df
lim
'
R
C
R
,
где контур интегрирования
'
C представляет собой полуокружность
Rz
=
,
0
Im
>
z
в верхней полуплоскости
z
(рис 8 ).
Рис.8.
Доказательство:
() ()
0
1
0
''
→
+
→=
∫
<≤
∫
R
CC
R
M
R
RM
dfdf
RR
δδ
ππ
ζζζζ
Лемма 1 применяется при вычислении ряда несобственных интегралов
вида
()
∫
−∞
∞−
dxxf
.
Теорема. Пусть функция
(
)
xf , заданная на всей действительной оси
∞
<
<
∞
−
x
, может быть аналитически продолжена на верхнюю
полуплоскость
0
Im
>
z
, причем ее аналитическое продолжение, функция
(
)
zf
,
удовлетворяет условиям леммы 1 и не имеет особых точек на действительной
оси . Тогда несобственный интеграл первого рода
()
∫
−∞
∞−
dxxf
существует и равен
'
C
0
=
z
x
R
                                                              32

                                 ∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ].
                                                        N

                                Г+                     k =1


        Вы ч и слен и еопределен н ы хи н т егралов спом ощью вы ч ет ов
        Ра ссмотрим два вида интегра лов:
                                       −∞
        1. И нтег ралы ви д а ∫ f ( x )dx .
                                       −∞
Л ем м а 1.            П усть     ф ункци я        f (z )          является анали ти ческой в верхней
полуплоскости       Im z > 0 всюд у, за и сключени ем    конечног о чи сла
и золи рованны х особы х точек, и существуют таки е полож и тель ны е чи сла
R0 , M , δ , что д ля всех точек верхней полуплоскости , уд овлетворяющи х
услови ю z > R0 , и меетместо оценка

                              f (z ) < 1+δ ,
                                        M
                                                                     z > R0 .
                                      z
Т ог д а lim ∫ f (ζ )dζ = 0 ,
            R →∞ C'
                  R

г д еконтур и нтег ри ровани я C R' пред ставляетсобой полуокруж ность z = R ,
Im z > 0 в верхней полуплоскости z (ри с8 ).

                                C'R
                   R


             z=0                 x
Ри с.8.
Док азат ельст во:
                                                                       MπR πM
                                 ∫ f (ζ )dζ ≤ ∫ f (ζ ) dζ <                  =    →0
                                C R'            C R'                   R1 + δ R δ R → 0
       Л ем м а 1 при меняется при вы чи слени и ряд а несобственны х и нтег ралов
       −∞
ви д а ∫ f ( x )dx .
       −∞
      Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( x ) , задан н ая н а всей дейст ви т ельн ой оси
− ∞ < x < ∞ , м ож ет       бы т ь ан али т и ч еск и продолж ен а н а верхнюю
полуплоск ост ь Im z > 0 , при ч ем ееан али т и ч еск оепродолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) ,
удовлет воряет услови ям лем м ы 1 и н еи м еет особы хт оч ек н а дейст ви т ельн ой
                                                                            −∞
оси . Тогда н есобст вен н ы й и н т еграл первого рода ∫ f ( x )dx сущест вует и равен
                                                                            −∞

Страницы