Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
Рассмотренные три случая исчерпывают возможный вид разложения
аналитической функции в ряд Лорана в окрестности ее изолированной особой
точки .
2.6 Теория вычетов. Вычисление определенных интегралов с помощью
вычетов
Определение. Вычетом аналитической функции
(
)
zf в изолированной
особой точке
0
z называется комплексное число, равное значению интеграла
()
∫
γ
ζζ
π
df
i 2
1
, взятому в положительном направлении по любому лежащему в
области аналитической функции
(
)
zf замкнутому контуру
γ
, содержащему
единственную особую точку
0
z функции
(
)
zf .
Обозначение вычета (residu)
(
)
[
]
0
, zzfВыч или
(
)
[
]
0
, zzfres .
Для вычисления вычета функции
(
)
zf в ее изолированной особой точке может
быть применена формула
()
[]
()
∫
==
−
C
cdf
i
z,zfВыч
10
2
1
ζζ
π
.
Однако в ряде случае может быть указан более простой способ
вычисления вычета.
1. Пусть точка
0
z
является полюсом первого порядка функции
(
)
zf
.
Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение
(
)
(
)
(
)
...zzcczzczf +−++−=
−
−
0
1
0
1
0
1
(2.23)
Умножим обе части (2.23) на
(
)
0
zz
−
и , перейдя к пределу при
0
zz
→
, получим
(
)
(
)
zfzz
lim
c
zz
01
0
−
=
→
−
. (2.24)
В данном случае функция
(
)
zf в окрестности точки
0
z может быть
представлена в виде отношения двух аналитических функций:
()
(
)
()
,
z
z
zf
ψ
=
(2.25)
причем
(
)
0
0
≠
z
, а точка
0
z является нулем первого порядка функции
(
)
z
ψ
,
т.е.
()()()
(
)
()
...,
2
2
0
0
''
0
'
0
+−+−= zz
z
zzzz
ψ
ψ
ψ
(2.26)
(
)
0
0
'
≠z
ψ
.
Тогда из (2.24) - (2.26) получаем формулу
()
[]
(
)
()
()
(
)
()
==
z
z
zf
z
z
zzfВыч
ψ
ϕ
ψ
ϕ
0
'
0
0
, . 
                                                      30
      Рассмотренны е три случая и счерпы вают возмож ны й ви д разлож ени я
анали ти ческой ф ункци и в ряд Л орана в окрестности ее и золи рованной особой
точки .

         2.6 Т еори я вы четов. В ы чи слени еопред еленны хи нтег ралов спомощь ю
вы четов
         Опр еделени е. Вы ч ет ом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) в и золи рован н ой
особой т оч к е z0 н азы вает ся к ом плек сн ое ч и сло, равн ое зн ач ен и ю и н т еграла

       ∫ f (ζ )dζ , взят ом у в положи т ельн ом н аправлен и и по любом у лежащем у в
  1
 2πi γ
област и ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) зам к н ут ом у к он т уру γ , содержащем у
еди н ст вен н ую особую т оч к у z0 ф ун к ци и f ( z ) .
         О бозначени евы чета (residu)
                               Вы ч [ f ( z ), z 0 ] и ли res [ f (z ), z0 ] .
Д ля вы чи слени я вы чета ф ункци и f ( z ) в ееи золи рованной особой точкемож ет
бы ть при менена ф ормула
                              Вы ч [ f ( z ), z0 ]=      ∫ f (ζ )dζ = c−1 .
                                                      1
                                                     2πi C
         О д нако в ряд е случае мож ет бы ть указан более простой способ
вы чи слени я вы чета.
         1. П усть точка z0 является полюсом первог о поряд ка ф ункци и f ( z ) .
Т ог д а в окрестности этой точки и меетместо разлож ени е
                f (z ) = c−1 (z − z 0 )−1 + c0 + c1 (z − z0 )+ ...            (2.23)
У множ и м обечасти (2.23) на (z − z0 ) и , перейд я кпред елупри z → z0 , получи м
                        c−1 = lim ( z − z0 ) f ( z ) .                        (2.24)
                                    z → z0
      В д анном случаеф ункци я f ( z ) в окрестности точки z0 мож етбы ть
пред ставлена в ви д еотношени я д вух анали ти чески хф ункци й:
                                  ϕ (z )
                         f (z ) =        ,                                    (2.25)
                                  ψ (z )
при чем ϕ (z0 ) ≠ 0 , а точка z0 является нулем первог о поряд ка ф ункци и ψ ( z ) ,
т.е.
                                                         ψ '' ( z0 )
                          ψ ( z ) = (z − z 0 )ψ ( z0 ) +
                                                  '
                                                                     (z − z0 )2 + ...,   (2.26)
                                                              2
                                  ψ (z0 ) ≠ 0 .
                                     '

Т ог д а и з (2.24) - (2.26) получаем ф ормулу
                                                 ϕ (z0 )              ϕ (z ) 
                          Вы ч [ f ( z ), z0 ] =           f ( z ) =          .
                                                 ψ (z0 ) 
                                                  '                    ψ ( z ) 

Страницы