Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Тогда внутри кольца
102
RzzR
<
−
<
имеет место равенство
()()
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−
nn
n
n
n
n
zzczzc
0
'
0
(2.21)
Проведем окружность
R
C радиуса
R
,
1
2
RRR
<
<
, с центром в точке
0
z .
Ряды (2.21) сходятся на
R
C равномерно . Умножим их на
(
)
,
1
0
−
−
−
m
zz где
-
фиксированное целое число, и проинтегрируем почленно :
()
()
∫∫
=
≠
==−
−−
−−
R
C
mnimn
mn
mni
mn
deiRdzzz
π
ϕ
π
ϕ
2
0
1
0
.,2
,,0
После указанного интегрирования выражения (2.21), получаем :
'
m
m
cc = .
2.5 Классификация изолированных особых точек однозначной
аналитической функции
Определение. Точка
0
z называется изолированной особой точкой
функции
(
)
zf , если
(
)
zf -однозначная и аналитическая в круговом кольце
10
0 Rzz
<
−
<
.
В самой точке
0
z функция может быть не определена. Изучим поведение
функции
(
)
zf в окрестности точки
0
z .
Функцию
(
)
zf в окрестности точки
0
z можно разложить в ряд Лорана
(2.14), сходящийся в кольце
10
0 Rzz
<
−
<
. Классификация изолированных
особых точек производится в зависимости от вида разложения функции
(
)
zf
в
ряд Лорана.
1. Изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf называется устранимой
особой точкой функции
(
)
zf
, если разложение
(
)
zf
в ряд Лорана в
окрестности
0
z не содержит членов с отрицательными степенями разности , т.е.
()()
∑
−=
∞
=
0
0
n
n
n
zzczf .
Понятно, что
(
)
0
0
lim czf
zz
=
→
.
Если функция
(
)
zf не была определена в точке
0
z , то доопределим ее ,
положив
(
)
00
czf
=
.
В окрестности устранимой особой точки функция
(
)
zf ограничена и
может быть представлена в виде
(
)
(
)
(
)
zzzzf
m
ϕ
0
−= , где
0
≥
- целое число, а
(
)
0
0
≠
z
ϕ
.
2. Изолированная особая точка называется полюсом порядка
функции
(
)
zf , если ряд Лорана функции
(
)
zf в окрестности ее изолированной особой 
                                                  28

      Т ог д а внутри коль ца R2 < z − z0 < R1 и меетместо равенство
                             ∞                      ∞
                            ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn' ( z − z0 )
                                           n                  n
                                                                                       (2.21)
                           n = −∞                 n = −∞
       П ровед ем окруж ность CR рад и уса R , R2 < R < R1 , сцентром в точке z0 .
Ряд ы (2.21) сход ятся на CR равномерно. У множ и м и х на ( z − z0 )− m −1 , г д е m -
ф и кси рованноецелоечи сло, и прои нтег ри руем почленно :
                                                    2π                    0, n ≠ m,
                  ∫ (z − z0 )
                             n − m −1
                                      dz = R n − m i ∫ e i (n − m )ϕ dϕ = 
                 CR                                  0                    2π i, n = m .
       П ослеуказанног о и нтег ри ровани я вы раж ени я (2.21), получаем:
      '
cm = cm .

        2.5 Класси ф и каци я и золи рованны хособы хточекод нозначной
анали ти ческой ф ункци и
        Опр еделени е. Точ к а z0 н азы вает ся и золи рован н ой особой т оч к ой
ф ун к ци и f ( z ) , если f ( z ) -одн озн ач н ая и ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце
0 < z − z0 < R1 .
        В самой точке z0 ф ункци я мож етбы ть неопред елена. И зучи м повед ени е
ф ункци и f ( z ) в окрестности точки z0 .
        Ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 мож но разлож и ть в ряд Л орана
(2.14), сход ящи йся в коль це 0 < z − z0 < R1 . Класси ф и каци я и золи рованны х
особы х точекпрои звод и тся в зави си мости отви д а разлож ени я ф ункци и f ( z ) в
ряд Л орана.
        1. И золи рованная особая точка z0 ф ункци и f ( z ) назы вается устрани мой
особой точкой ф ункци и f ( z ) , если разлож ени е f ( z ) в ряд Л орана в
окрестности z0 несод ерж и тчленов сотри цатель ны ми степенями разности , т.е.
                                            ∞
                                    f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n .
                                           n =0
П онятно, что lim f ( z ) = c0 .
                  z → z0
     Е сли ф ункци я f ( z ) не бы ла опред елена в точке z0 , то д оопред ели м ее,
полож и в f (z 0 ) = c0 .
     В окрестности устрани мой особой точки ф ункци я f ( z ) ог рани чена и
мож етбы ть пред ставлена в ви д е f ( z ) = ( z − z0 )m ϕ ( z ) , г д е m ≥ 0 - целоечи сло, а
ϕ (z0 ) ≠ 0 .
         2. И золи рованная особая точка назы вается полюсом поряд ка m ф ункци и
f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ее и золи рованной особой

Страницы