Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 27 стр.

                                                         27

                                                f (ζ )        ∞
                           f1( z ) =                             cn ( z − z0 )n ,
                                        1
                                            ∫          d ζ =  ∑                                   (2.18)
                                       2πi C ζ − z           n =0
                                              'R1

                                    
            1          f (ζ )       
г д е cn =        ∫              dζ  , n ≥ 0 .
              2πi C (ζ − z0 )n +1
                 R1'               
                                                                           ζ − z0
       2. Н а C R ' ,     вы полняется неравенство                                < 1,   то аналог и чно
                     2                                                     z − z0
                                                     ∞ ζ − z             n
                                1            1
пред ы д ущемуи меем                 =−              ∑     0 .
                             ζ −z       (z − z0 ) n=0  z − z0 
В резуль татепочленног о и нтег ри ровани я этог о ряд а получаем
                              f (ζ )       ∞      c− n
           f 2 (z )=
                      1
                           ∫         dζ =  ∑               ,                                      (2.19)
                     2πi C − ζ − z        n =1 ( z − z 0 )
                          R2'


                                                          ∫ f (ζ )(ζ − z0 ) dζ =
                                                 1                         n −1
                         г д е c− n = −
                                                2πi     C −'
                                                          R2


                                          f (ζ )(ζ − z 0 )n−1 dζ , n > 0 .
                                 1
                          =           ∫
                                2πi C
                                        'R2
       Ф ормулы (2.18) и (2.19) мож но объ ед и ни ть ( таккакв си лу теоремы
Коши значени я соответствующи х и нтег ралов неи зменяются при прои зволь ной
д еф ормаци и     контуров       и нтег ри ровани я       в     области        анали ти чности
под и нтег раль ной ф ункци и ):
                                 1        f (ζ )
                          cn =      ∫               dζ , n = 0, ± 1, ± 2,... ,
                                2πi C (ζ − z0 )n +1
г д е C - прои зволь ны й замкнуты й контур, леж ащи й в коль це R2 < z − z0 < R1 и
сод ерж ащи й точку z0 внутри . П олучаем
                    ∞                          ∞                    ∞
            f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n + ∑                        = ∑ cn ( z − z0 )n .
                                                        c− n
                                                                                                  (2.20)
                                              n =1 ( z − z0 )
                                                               n
                   n=0                                            n = −∞
       Ряд (2.20) сход и тся кф ункци и f ( z ) всюд увнутри д анног о коль ца,
при чем в замкнутом коль це R2 < R2' ≤ z − z0 ≤ R1' < R1 ряд сход и тся кф ункци и
 f ( z ) равномерно.
         Д окаж ем ед и нственность разлож ени я (2.20). П ред полож и м, что и меет
место д руг оеразлож ени е:
                                                    ∞
                                       f ( z ) = ∑ cn' ( z − z 0 )n ,
                                       n = −∞
                                     '
г д ехотя бы од и н коэф ф и ци ент cn ≠ cn .