Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 25 стр.

                                                   25


      2.4 Ряд Л ора на
      Рассмотри м ряд ви д а
                                        ∞
                                    ∑ cn ( z − z 0 ) ,
                                                    n
                                                                                                 (2.14)
                                   n = −∞
г д е z0 - ф и кси рованная точка комплексной плоскости , cn - некоторы е
комплексны е чи сла, а сумми ровани е вед ется какпо полож и тель ны м, таки по
отри цатель ны м значени ям и нд екса n .
      Ряд (2.14) носи тназвани еряд а Л орана.
      П ред стави м ряд (2.14) в ви д е
                          ∞             n  ∞                 ∞
                         ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn ( z − z0 ) + ∑
                                                          n          c− n
                                                                             . (2.15)
                                                            n =1 ( z − z0 )
                                                                           n
                       n = −∞             n=0
                                   ∞
      П ервое слаг аемое          ∑ cn ( z − z0 )n ряд а (2.15) назы вается прави ль ной
                                  n =0
                                                         ∞      c− n
часть ю ряд а Л орана, а второе слаг аемое ∑                               – г лавной часть ю.
                                                        n =1 ( z − z0 )
                                                                       n

                                               ∞
      О бласть ю сход и мости ряд а ∑ cn ( z − z0 )n является круг с центром в
                                             n =0
точке z0 некоторог о рад и уса R1 ( 0 ≤ R1 < ∞ ).
      В нутри круг а сход и мости этот ряд сход и тся кнекоторой анали ти ческой
ф ункци и комплексной переменной:
                                        ∞
                          f1 ( z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , z − z0 < R .                             (2.16)
                                    n =0
                                                                       ∞     c− n
      Д ля опред елени я области сход и мости ряд а ∑                               сд елаем замену
                                                    n =1 ( z − z0 )
                                                                   n

                  1                                    ∞
переменной ζ =        . Т ог д а ряд этотпри метви д ∑ c− n ζ n .
               z − z0                                 n =1
     Т о есть получи ли обы чны й степенной ряд . О бозначи м рад и уссход и мости
                                       1
полученног о степенног о ряд а через      .
                                       R2
                        ∞
     Т ог д а ϕ (ζ ) = ∑ c− n ζ n , ζ < .
                                        1
                       n =1            R2
     В озвращаясь кстарой переменной и полаг ая ϕ (ζ ( z )) = f 2 (z ) , получи м
                     ∞      c−n
           f 2 (z ) = ∑                 ,   z − z0 > R2 (0 ≤ R2 < ∞) .                           (2.17)
                    n =1 ( z − z 0 )
                                    n