Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
D
, имеют равные значения на бесконечном множестве точек Е этой области ,
причем множество Е допускает предельную точку
a
, лежащую внутри
D
. Мы
докажем тождественность наших функций всюду в области
D
, если покажем ,
что они имеют равные значения в произвольной точке
b
области
D
. С этой
целью соединим точки
a
и
b
произвольной непрерывной линией L, лежащей в
области
D
. Обозначим через
(
)
0
>
dd расстояние линии L до границы
области
D
, т. е. минимум всевозможных расстояний между двумя точками , из
которых одна принадлежит линии L, а другая — границе области
D
. Очевидно,
круг с центром в любой точке линии L радиуса
2
d
целиком лежит в области
D
.
Вследствие разобранного выше частного случая данные функции совпадают
между собой всюду внутри круга с центром в точке
a
радиуса
2
d
, так как точка
a
есть предельная точка множества Е (рис.6). Заставляя центр круга радиуса
2
d
непрерывно двигаться по линии L от точки
a
до точки
b
, мы видим, что наши
функции должны совпадать все время между собой внутри круга, каково бы ни
было положение этого движущегося круга.
Рис. 6.
Следовательно , в частности , имеем :
(
)
(
)
bbf
ϕ
=
, что и нужно. Итак, мы
доказали , что функция, голоморфная в области
D
, определена единственным
образом, если известны ее значения на бесконечной последовательности точек
k
z
, имеющей хотя бы одну предельную точку внутри
D
.
Как следствие доказанной теоремы отметим, что две функции
(
)
zf и
(
)
z
ϕ
, голоморфные в области
D
, тождественно равны между собой в этой
области , если :
1)
(
)
(
)
zzf
ϕ
=
всюду в произвольно малой окрестности некоторой точки
области
D
;
2)
(
)
(
)
zzf
ϕ
=
на произвольно малой линии, целиком лежащей в
D
.
Это есть одно из замечательных свойств аналитических функций, не
присущее произвольным непрерывным функциям комплексного переменного:
в случае произвольной функции комплексного переменного, непрерывной в
области
D
, значения ее в окрестности одной точки области
D
никоим образом
не определяют ее значений во всех точках этой области .
L
а
                                           24
D , и меют равны е значени я на бесконечном множ естве точекЕ этой области ,
при чем множ ество Е д опускаетпред ель ную точку a , леж ащую внутри D . М ы
д окаж ем тож д ественность наши х ф ункци й всюд у в области D , если покаж ем,
что они и меют равны е значени я в прои зволь ной точке b области D . С этой
цель ю соед и ни м точки a и b прои зволь ной непреры вной ли ни ей L, леж ащей в
области D . О бозначи м через d (d > 0) расстояни е ли ни и L д о г рани цы
области D , т. е. ми ни мум всевозмож ны х расстояни й меж д у д вумя точками , и з
которы х од на при над леж и тли ни и L, а д руг ая — г рани цеобласти D . О чеви д но,
                                                      d
круг сцентром в любой точкели ни и L рад и уса цели ком леж и тв области D .
                                                      2
В след стви е разобранног о вы ше частног о случая д анны е ф ункци и совпад ают
                                                                     d
меж д усобой всюд увнутри круг а сцентром в точке a рад и уса , таккакточка
                                                                     2
                                                                                     d
a есть пред ель ная точка множ ества Е (ри с.6). Заставляя центр круг а рад и уса
                                                                                     2
непреры вно д ви г ать ся по ли ни и L отточки a д о точки b , мы ви д и м, что наши
ф ункци и д олж ны совпад ать всевремя меж д у собой внутри круг а, каково бы ни
бы ло полож ени еэтог о д ви ж ущег ося круг а.


                              b

                          L
           а


                         Ри с. 6.
          С лед ователь но, в частности , и меем: f (b ) = ϕ (b ) , что и нуж но. И так, мы
д оказали , что ф ункци я, г оломорф ная в области D , опред елена ед и нственны м
образом, если и звестны ее значени я на бесконечной послед ователь ности точек
 zk , и меющей хотя бы од нупред ель ную точкувнутри D .
          Как след стви е д оказанной теоремы отмети м, что д ве ф ункци и f ( z ) и
ϕ ( z ) , г оломорф ны е в области D , тож д ественно равны меж д у собой в этой
области , если :
     1) f ( z ) = ϕ (z ) всюд у в прои зволь но малой окрестности некоторой точки
          области D ;
     2) f ( z ) = ϕ (z ) на прои зволь но малой ли ни и , цели ком леж ащей в D .
     Э то есть од но и з замечатель ны х свойств анали ти чески х ф ункци й, не
при сущеепрои зволь ны м непреры вны м ф ункци ям комплексног о переменног о:
      в случаепрои зволь ной ф ункци и комплексног о переменног о, непреры вной в
области D , значени я еев окрестности од ной точки области D ни кои м образом
неопред еляютеезначени й во всехточкахэтой области .

Страницы