ВУЗ:
Составители:
23
однозначно определена в этой области , если известны значения этой функции
на сколь угодно малой дуге линии. Из формулы Коши видно, что можно
определить все значения аналитической функции внутри замкнутого контура
C
, если известны ее значения на этом контуре. На основании теоремы о
разложении аналитической функции в степенной ряд можно доказать указанное
свойство единственности аналитических функций в общем виде. Это свойство
вследствие его огромного значения для построения теории аналитических
функций наряду с интегралом Коши должно рассматриваться как основное в
этой теории.
Это свойство формулируется в общем виде таким образом:
Если две функции
(
)
zf и
(
)
z
ϕ
, аналитические в некоторой области
D
имеют равные значения на бесконечном множестве точек E в этой области,
причем множество E допускает по крайней мере одну предельную точку,
лежащую внутри
D
, то эти функции равны между собой всюду в области
D
.
Докажем сначала это предложение для случая , когда область
D
есть
круг , центр которого
a
является предельной точкой множества Е . Итак, пусть
(
)
(
)
(
)
...,
2
2
1
0
+−+−+= azcazcczf
(
)
(
)
(
)
...
2
'
2
'
1
'
0
+−+−+= azcazccz ϕ
суть разложения данных функций, которые имеют место во всякой точке
z
круга
D
. Чтобы доказать совпадение функций
(
)
zf и
(
)
z
ϕ
всюду внутри круга
D
, достаточно показать , что коэффициенты
n
c и
'
n
c равны между собой при
любом
n
(
)
0
≥
n
. Согласно условию, если точка
z
принадлежит множеству Е ,
то имеем :
(
)
(
)
zzf
ϕ
=
.
Так как точка
a
есть предельная точка множества Е , то можно выбрать
последовательность точек
k
z
этого множества, сходящуюся к точке
a
. Из
условия
(
)
(
)
k
k
zzf
ϕ
=
(2.11)
путем перехода к пределу, вследствие непрерывности функций
(
)
zf
и
(
)
z
ϕ
в
точке
a
получаем :
(
)
(
)
aaf
ϕ
=
, или
'
0
0
cc = . Заметив это , равенство (2.11)
перепишем в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
......
2
'
2
'
1
2
2
1
+−+−=+−+− azcazcazcazc , (2.12)
где
z
обозначает любую точку множества Е . Сокращая равенство (2.12) на
a
z
−
, получим:
(
)
(
)
......
'
2
'
1
2
1
+−+=+−+ azccazcc (2.13)
Последнее равенство имеет место для всех точек
z
множества Е , в частности ,
при
k
zz
=
. Переходя к пределу в предположении, что
az
k
=
lim
, аналогично
предыдущему, получим:
'
1
1
cc =
. Поступая так далее, найдем :
'
2
2
cc =
, ... и
вообще
'
n
n
cc =
при любом
n
. Пусть теперь две функции
(
)
zf
и
(
)
z
ϕ
, в области
23
од нозначно опред елена в этой области , если и звестны значени я этой ф ункци и
на сколь уг од но малой д уг е ли ни и . И з ф ормулы Коши ви д но, что мож но
опред ели ть все значени я анали ти ческой ф ункци и внутри замкнутог о контура
C , если и звестны ее значени я на этом контуре. Н а основани и теоремы о
разлож ени и анали ти ческой ф ункци и в степенной ряд мож но д оказать указанное
свойство ед и нственности анали ти чески х ф ункци й в общем ви д е. Э то свойство
вслед стви е ег о ог ромног о значени я д ля построени я теори и анали ти чески х
ф ункци й наряд у с и нтег ралом Коши д олж но рассматри вать ся какосновное в
этой теори и .
Э то свойство ф ормули руется в общем ви д етаки м образом:
Если две ф ун к ци и f ( z ) и ϕ ( z ) , ан али т и ч еск и е в н ек от орой област и D
и м еют равн ы езн ач ен и я н а беск он еч н ом м н ожест ве т оч ек E в эт ой област и ,
при ч ем м н ожест во E допуск ает по к райн ей м ере одн у предельн ую т оч к у,
лежащую вн ут ри D , т о эт и ф ун к ци и равн ы м ежду собой всюду в област и D .
Д окаж ем сначала это пред лож ени е д ля случая, ког д а область D есть
круг , центр которог о a является пред ель ной точкой множ ества Е . И так, пусть
f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + c2 (z − a )2 + ...,
ϕ ( z ) = c0' + c1' ( z − a ) + c2' ( z − a )2 + ...
суть разлож ени я д анны х ф ункци й, которы е и меют место во всякой точке z
круг а D . Ч тобы д оказать совпад ени еф ункци й f ( z ) и ϕ ( z ) всюд у внутри круг а
D , д остаточно показать , что коэф ф и ци енты cn и cn' равны меж д у собой при
любом n (n ≥ 0) . С ог ласно услови ю, если точка z при над леж и т множ еству Е ,
то и меем:
f (z ) = ϕ (z ).
Т ак как точка a есть пред ель ная точка множ ества Е , то мож но вы брать
послед ователь ность точек zk этог о множ ества, сход ящуюся к точке a . И з
услови я
f ( zk ) = ϕ ( zk ) (2.11)
путем переход а кпред елу, вслед стви енепреры вности ф ункци й f ( z ) и ϕ ( z ) в
точке a получаем: f (a ) = ϕ (a ) , и ли c0 = c0' . Замети в это, равенство (2.11)
перепи шем в ви д е
c1 (z − a ) + c2 ( z − a )2 + ... = c1' ( z − a ) + c2' ( z − a )2 + ... , (2.12)
г д е z обозначаетлюбую точкумнож ества Е . С окращая равенство (2.12) на
z − a , получи м:
c1 + c2 (z − a ) + ... = c1' + c2' ( z − a ) + ... (2.13)
П ослед нее равенство и меет место д ля всех точек z множ ества Е , в частности ,
при z = zk . П ереход я кпред елу в пред полож ени и , что lim zk = a , аналог и чно
пред ы д ущему, получи м: c1 = c1' . П оступая так д алее, найд ем: c2 = c2' , ... и
вообще cn = cn' при любом n . П усть теперь д веф ункци и f ( z ) и ϕ ( z ) , в области
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
