Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 21 стр.

                                                 21
                                                            ∞
С ледст ви е5. Коэф ф и ци енты степенног о ряд а ∑ cn ( z − z 0 )n вы раж аются через
                                                           n =0
значени я суммы ряд а и ее прои звод ны х в центре круг а сход и мости по
ф ормулам cn = f (n ) ( z0 ) .
              1
              n!
                                                                               ∞
                                                                              ∑ cn ( z − z 0 )
                                                                                              n
С ледст ви е 6.       Рад и ус сход и мости           R   степенног о ряд а
                                                                              n =0
                                          1
опред еляется ф ормулой                R = , г д е l = lim n cn    есть   верхни й пред ел
                                          l           n →∞

послед ователь ности n cn .    {   }
      Ряд Тейло р а
      Тео р ем а Тейло р а. Фун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая вн ут ри к руга
z − z0 ≤ R , м ожет бы т ь предст авлен а в эт ом к ругесходящи м ся ст епен н ы м
                ∞
рядом f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , при ч ем эт от ряд определен одн озн ач н о.
               n =0
Д оказатель ство:


                                   ζ
                               ρ
                      z                 R
                          z0

                          cρ

Ри с. 5.
z      - прои зволь ная точка внутри круг а z − z0 < R . П острои м окруж ность C ρ
сцентром в точке z0 рад и уса ρ < R , сод ерж ащую точку z внутри (ри с.5).
 f ( z ) - анали ти ческая ф ункци я в области z − z0 < ρ , z - внутренняя точка
области , по ф ормулеКоши и меем
                          f (ζ )
          f (z ) =
                    1
                        ∫        dζ .                                     (2.5)
                   2πi C ζ − z
                      ρ
      П од и нтег раль ноевы раж ени епреобразуем
                                     1 ∞ (z − z0 )
                                                        n
        1         1         1
             =       .            =         ∑             .                           (2.6)
      ζ − z ζ − z0         z − z 0 ζ − z 0 n =0 (ζ − z )n
                       1−                             0
                          ζ − z0