Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 20 стр.

                                                    20
Док азат ельст во: В ы берем прои зволь ную точку z , уд овлетворяющую услови ю
                                             ∞
z − z 0 < z1 − z 0 , и рассмотри м ряд ∑ cn ( z − z 0 )n .
                                            n =0
      О бозначи м z − z0 = q z1 − z0 , q < 1 . В сечлены ряд а (2.4) стремятся к
                                                                                n
нулю при n → ∞ . С лед ователь но, ∃ const M такая, что cn ⋅ z1 − z 0               ≤M .
                           M
С лед ователь но, cn ≤          n
                                  . Т ог д а
                        z1 − z0
                                                                           n
                         (       )                                  z − z0
                   ∞                    ∞                  n
                   ∑ сn z − z0        ≤ ∑ cn ⋅ z − z 0          ≤M∑
                                  n
                                                                            .
                  n=0                  n=0                          z1 − z0
       z − z0           ∞
Н о q=         <1. Ряд ∑ q n , если q < 1 , сход и тся. Т ог д а и з послед нег о
       z1 − z0         n =0
неравенства след уетсход и мость рассматри ваемог о ряд а.
                                                                 ∞
      Д окаж ем равномерную сход и мость ряд а ∑ cn (z − z0 )n в круг е
                                                                n =0
z − z0 ≤ ρ < z1 − z0 .
       Ф ункци ональ ны й ряд (2.4) маж ори руется сход ящи мся чи словы м ряд ом
   ∞      ρn
M∑             n
                 , след ователь но , в си лу при знака В ейерштрасса в круг е
  n =0 z − z
        1    0
z − z0 ≤ ρ рад и уса ρ , мень шег о (z1 − z0 ) , ряд сход и тся равномерно.

      Следств и я и зтео р ем ы Абеля:
                                              ∞
С ледст ви е1. Е сли степенной ряд ∑ cn ( z − z 0 )n расход и тся в некоторой точке
                                             n =0
 z = z1 , то он расход и тся и во всехточках z , уд овлетворяющи хнеравенству.
С ледст ви е 2. Д ля всяког о степенног о ряд а существует такое чи сло R , что
внутри круг а z − z 0 ≤ R д анны й степенной ряд сход и тся, а вне этог о круг а
расход и тся.
         О бласть z − z0 ≤ R назы вается круг ом сход и мости степенног о ряд а, а
чи сло R - ег о рад и усом сход и мости .
                                                          ∞
      В круг е z − z 0 ≤ ρ < R степенной ряд ∑ cn ( z − z 0 )n сход и тся равномерно.
                                                         n =0
С ледст ви е 3. В нутри круг а сход и мости степенной ряд сход и тся к
анали ти ческой ф ункци и .
С ледст ви е 4. С тепенной ряд внутри круг а сход и мости мож но почленно
и нтег ри ровать и д и ф ф еренци ровать любое чи сло раз, при чем рад и ус
сход и мости полученны хряд ов равен рад и усусход и мости и сход ног о ряд а.