Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
функциональным рядом . При фиксированном значении Dz
∈
0
ряд
превращается в числовой ряд вида (2.1).
Функциональный ряд (2.3) называется сходящимся в области
D
, если при
любом
D
z
∈
соответствующий ему числовой ряд сходится.
В области
D
можно определить однозначную функцию
(
)
z
ϕ
, значение
которой в каждой точке области
D
равно сумме соответствующего числового
ряда. Эта функция называется суммой ряда (2.3) в области
D
. В этом случае
для
(
)
zNDz ,0,
ε
ε
∀
∈
∀
, что
()()
ε<−
∑
=
n
k
k
zuzf
1
.
Равномерная сходимость
Если для
(
)
ε
ε
N
∀
0 такой, что при
(
)
ε
Nn
неравенство
()()
ε<−
∑
=
n
k
k
zuzf
1
выполняется сразу для всех
D
z
∈
, то ряд (2.3) называется равномерно
сходящимся в области
D
.
Обозначим
()()
∑
∞
+=
=
1
n
k
kn
zuzr
, тогда условие равномерной сходимости
запишем в виде
(
)
ε
zr
n
при
(
)
ε
Nn
.
Достаточный признак равномерной сходимости . Признак
Вейерштрасса
Если всюду в области
D
члены функционального ряда (2.3) могут быть
мажорированы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3)
сходится равномерно в области
D
.
Доказательство: по условию
(
)
Dzazu
nn
∈
, . Так как ряд
∑
∞
=
1
n
n
a сходится ,
то
N
∀
0
ε
, что ε<
∑
∞
+= 1 nk
k
a при
N
n
. Тогда
() ()
ε<≤≤
∑∑∑
∞
+=
∞
+=
∞
+= 111 nk
k
nk
k
nk
k
azuzu
, при
N
n
, что и требовалось доказать .
Критерий Коши . Необходимым и достаточным условием равномерной
сходимости ряда (2.3) в области
D
является существование для
0
∀
ε
такого
(
)
ε
N , что одновременно во всех точках области
D
выполняется
соотношение
(
)
(
)
ε
+
zSzS
nmn
при
N
n
и для любого натурального
m
.

Страницы