Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
функциональным рядом . При фиксированном значении Dz
∈
0
ряд
превращается в числовой ряд вида (2.1).
Функциональный ряд (2.3) называется сходящимся в области
D
, если при
любом
D
z
∈
соответствующий ему числовой ряд сходится.
В области
D
можно определить однозначную функцию
(
)
z
ϕ
, значение
которой в каждой точке области
D
равно сумме соответствующего числового
ряда. Эта функция называется суммой ряда (2.3) в области
D
. В этом случае
для
(
)
zNDz ,0,
ε
ε
∀
∈
∀
, что
()()
ε<−
∑
=
n
k
k
zuzf
1
.
Равномерная сходимость
Если для
(
)
ε
ε
N
∀
0 такой, что при
(
)
ε
Nn
неравенство
()()
ε<−
∑
=
n
k
k
zuzf
1
выполняется сразу для всех
D
z
∈
, то ряд (2.3) называется равномерно
сходящимся в области
D
.
Обозначим
()()
∑
∞
+=
=
1
n
k
kn
zuzr
, тогда условие равномерной сходимости
запишем в виде
(
)
ε
zr
n
при
(
)
ε
Nn
.
Достаточный признак равномерной сходимости . Признак
Вейерштрасса
Если всюду в области
D
члены функционального ряда (2.3) могут быть
мажорированы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3)
сходится равномерно в области
D
.
Доказательство: по условию
(
)
Dzazu
nn
∈
, . Так как ряд
∑
∞
=
1
n
n
a сходится ,
то
N
∀
0
ε
, что ε<
∑
∞
+= 1 nk
k
a при
N
n
. Тогда
() ()
ε<≤≤
∑∑∑
∞
+=
∞
+=
∞
+= 111 nk
k
nk
k
nk
k
azuzu
, при
N
n
, что и требовалось доказать .
Критерий Коши . Необходимым и достаточным условием равномерной
сходимости ряда (2.3) в области
D
является существование для
0
∀
ε
такого
(
)
ε
N , что одновременно во всех точках области
D
выполняется
соотношение
(
)
(
)
ε
+
zSzS
nmn
при
N
n
и для любого натурального
m
. 
                                                           18
ф ун к ци он альн ы м     рядом .    П ри     ф и к си рован н ом зн ач ен и и z 0 ∈ D ряд
превращает ся в ч и словой ряд ви да (2.1).
        Фун к ци он альн ы й ряд (2.3) н азы вает ся сходящи м ся в област и D , если при
любом z∈ D соот вет ст вующи й ем у ч и словой ряд сходи т ся.
        В области D мож но опред ели ть од нозначную ф ункци ю ϕ ( z ) , значени е
которой в каж д ой точке области D равно сумме соответствующег о чи словог о
ряд а. Э та ф ункци я назы вается суммой ряд а (2.3) в области D . В этом случае
д ля
                                                                 n
 ∀ z ∈ D, ∀ε > 0 ∃ N (ε , z ) , что                  f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε .
                                                                k =1

       Рав но м ер ная схо ди м о сть
       Если для ∀ ε > 0 ∃ N (ε ) т ак ой, ч т о при n ≥ N (ε ) н еравен ст во
                                                      n
                                            f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε
                                                    k =1
вы полн яет ся сразу для всех z ∈ D , т о ряд (2.3)                              н азы вает ся равн ом ерн о
сходящи м ся в област и D .
                                        ∞
       О бозначи м rn ( z ) =           ∑ u k ( z ) , тог д а услови еравномерной сход и мости
                                      k = n +1
запи шем в ви д е rn ( z ) < ε при               n ≥ N (ε ) .

             Д о стато чны й пр и знак р ав но м ер но й схо ди м о сти . Пр и знак
                                   В ейер штр асса
      Если всюду в област и D ч лен ы ф ун к ци он альн ого ряда (2.3) м огут бы т ь
м ажори рован ы ч лен ам и абсолют н о сходящегося ч и слового ряда, т о ряд (2.3)
сходи т ся равн ом ерн о в област и D .
                                                                                       ∞
Док азат ельст во: по услови ю un ( z ) ≤ an , z ∈ D . Т аккакряд ∑ an сход и тся,
                                                                                      n =1
                             ∞
то ∀ ε > 0 ∃ N , что ∑ ak < ε при n ≥ N . Т ог д а
                           k = n +1
  ∞               ∞                     ∞
  ∑ uk (z ) ≤     ∑ u k ( z ) ≤ ∑ ak < ε , при n ≥ N , что и требовалось д оказать .
k = n +1        k = n +1          k = n +1
       Кр и тер и й Ко ши . Необходи м ы м и дост ат оч н ы м услови ем равн ом ерн ой
сходи м ост и ряда (2.3) в област и D являет ся сущест вован и е для ∀ ε > 0
т ак ого N (ε ) , ч т о одн оврем ен н о во всех т оч к ах област и D вы полн яет ся
соот н ош ен и е
                                   Sn + m ( z ) − S n ( z ) < ε
при n ≥ N и для любого н ат уральн ого m .

Страницы