Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
при
0
→
ρ
()()
[]
0
2
0
0
=
∫
−
→
ϕς
π
ρ
dzff
lim
, и
()
zif
z
d)(f
C
π
ς
ς
ς
2=
∫
−
,
()
(
)
∫
−
=
C
z
df
i
zf
ς
ς
ς
π2
1
- интеграл Коши .
Полученная формула выражает значение аналитической функции
(
)
zf в
некоторой точке
z
через ее значения на любом контуре
, лежащем в области
аналитичности функции
(
)
zf
и содержащем точку
z
внутри.
Из формулы Коши следует , что
(
)
∫
−
−
=
−
C
Cвнеz
Cвнутриzzif
z
df
.,0
,,2
)(
π
ς
ςς
Рис.4.
Можно показать , что если функция
(
)
zf - аналитическая в области
D
, то
для ее производной первого порядка имеет место формула
()
(
)
()
∫
−
=
C
z
df
i
zf
2
'
2
1
ς
ς
ς
π
,
а для ее производной
n
- го порядка
()
()
(
)
()
∫
=
−
=
+
C
n
n
n
z
df
i
n
zf ),...3,2,1(,
2
!
1
ς
ς
ς
π
.
Таким образом, если однозначная функция
(
)
zf комплексной
переменной
z
имеет всюду в области
D
первую производную , то она имеет в
этой области и производные всех высших порядков.
Принцип максимума модуля аналитической функции
Теорема. Пусть функция
(
)
zf - аналитическая в области
D
, непрерывна
в замкнутой области
D
, тогда или
(
)
constzf
≡
, или
(
)
zfmax
достигаются
на границе области.
γ
С
z
                                                16
                     2π                                f ( ς )dς
при ρ → 0       lim ∫ [ f (ς ) − f ( z )]dϕ = 0 , и ∫            = 2πif ( z ) ,
                ρ →0 0                               C   ς  − z
                               f (ς )dς
                   f (z )=
                        1
                             ∫           - и нтег ралКоши .
                      2πi C ς − z
       П олученная ф ормула вы раж аетзначени еанали ти ческой ф ункци и f ( z ) в
некоторой точке z через еезначени я на любом контуре C , леж ащем в области
анали ти чности ф ункци и f ( z ) и сод ерж ащем точку z внутри .
И з ф ормулы Коши след ует, что
                         f (ς )dς 2πif ( z ), z − вн ут ри C ,
                      ∫            =
                      C ς −z         0 ,         z − вн е C.




                              γ
                         z

            С

                                                  Ри с.4.
       М ож но показать , что если ф ункци я f ( z ) - анали ти ческая в области D , то
д ля еепрои звод ной первог о поряд ка и меетместо ф ормула
                                                 1 f (ς )dς
                                    f ' (z ) =       ∫          ,
                                                2πi C (ς − z )2
а д ля еепрои звод ной n - г о поряд ка
                                                  f (ς )dς
                        f (n ) ( z ) =
                                          n!
                                               ∫            , ( n = 1, 2 , 3,... ) .
                                         2πi C (ς − z )n +1
       Т аки м образом, если од нозначная ф ункци я f ( z ) комплексной
переменной z и меетвсюд ув области D первую прои звод ную, то она и меетв
этой области и прои звод ны евсех вы сши хпоряд ков.


                  Пр и нци п м ак си м ум а м о дуля анали ти ческ о й функ ци и

       Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) - ан али т и ч еск ая в област и D , н епреры вн а
в зам к н ут ой област и D , т огда и ли f ( z ) ≡ const , и ли max f (z ) дост и гают ся
н а гран и цеобласт и .

Страницы