Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Аналитическая функция
(
)
z
Φ
называется неопределенным интегралом
или первообразной аналитической функции
(
)
zf в области
D
.
Имеет место формула
()()()
∫
Φ−Φ=
2
1
12
z
z
zzdf ςς
.
1.6 Интеграл Коши
Формула Коши . Пусть
D
есть односвязная область , ограниченная
произвольной кусочно - гладкой линией
C
, и
(
)
zf - функция, аналитическая в
замкнутой области
D
. Формула Коши , к выводу которой мы сейчас перейдем ,
выражает значение функции
(
)
zf во всякой точке, внутренней к линии
C
,
через значения этой функции на контуре
C
. Формула Коши имеет вид:
()
(
)
∫
−
=
C
z
df
i
zf ,
2
1
ς
ς
ς
π
где
z
- любая точка внутри
C
, и интегрирование совершается по контуру
C
в
положительном направлении.
Доказательство:
Рассмотрим вспомогательную функцию
()
(
)
.
z
f
−
=
ς
ς
ςϕ
Функция
(
)
ς
, очевидно , является функцией всюду в области
D
, за
исключением точки
z
. Поэтому, если мы в области
D
возьмем такой
замкнутый контур
γ
, лежащий внутри
C
, чтобы точка
z
попала внутрь
области , ограниченной контуром
γ
, то функция
(
)
ς
будет аналитической в
двухсвязной области
∗
D
, заключенной между контурами
C
и
γ
. Согласно
теореме Коши , интеграл от функции
(
)
ς
по кривой
γ
+
C
равен нулю :
0
)()(
=
∫
−
+
∫
−
−+
γ
ς
ς
ς
ς
ς
ς
z
df
z
df
C
,
∫
−
=
∫
−
++
γ
ς
ς
ς
ς
ς
ς
z
df
z
df
C
)()(
.
Пусть
γ
- окружность радиуса
ρ
с центром в точке
z
, тогда
ϕ
ρς
i
ez += и
()
()()
[]
()
()()
[]
()
,zfdzff
dzfdzffd)(f
,dfi
e
die)(f
z
d)(f
i
i
С
∫
+−=
∫
=+
∫
−=
∫
∫
=
∫
=
∫
−
π
πππ
ππ
ϕ
ϕ
πϕς
ϕϕςϕς
ϕς
ρ
ϕρς
ς
ςς
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
                                                   15
      Анали ти ческая ф ункци я Φ( z ) назы вается неопред еленны м и нтег ралом
и ли первообразной анали ти ческой ф ункци и f ( z ) в области D .
      И меетместо ф ормула
                           z2
                           ∫ f (ς )dς = Φ (z 2 ) − Φ ( z1 ) .
                           z1




      1.6 И нтегра л К ош и

      Ф о р м ула Ко ши . П усть D есть од носвязная область , ог рани ченная
прои зволь ной кусочно-г лад кой ли ни ей C , и f ( z ) - ф ункци я, анали ти ческая в
замкнутой области D . Ф ормула К оши , квы вод у которой мы сейчас перейд ем,
вы раж ает значени е ф ункци и f ( z ) во всякой точке, внутренней к ли ни и C ,
через значени я этой ф ункци и на контуре C . Форм ула К ош и и м еет ви д:
                                                1 f (ς )dς
                                      f (z ) =      ∫         ,
                                               2πi C ς − z
где z - любая т оч к а вн ут ри C , и и н т егри рован и есоверш ает ся по к он т уру C в
полож и т ельн ом н аправлен и и .
      Док азат ельст во:
      Рассмотри м вспомог атель ную ф ункци ю
                                                     f (ς )
                                           ϕ (ς ) =         .
                                                    ς −z
Ф ункци я ϕ (ς ) , очеви д но, является ф ункци ей всюд у в области D , за
и сключени ем точки z . П оэтому, если мы в области D возь мем такой
замкнуты й контур γ , леж ащи й внутри C , чтобы точка z попала внутрь
области , ог рани ченной контуром γ , то ф ункци я ϕ (ς ) буд ет анали ти ческой в
д вухсвязной области D∗ , заключенной меж д у контурами C и γ . С ог ласно
теоремеКоши , и нтег рал отф ункци и ϕ (ς ) по кри вой C + γ равен нулю:
                 f (ς )dς     f (ς ) dς        f (ς ) dς     f (ς ) dς
               ∫          + ∫           = 0, ∫           = ∫           .
              C+ ς − z     γ− ς −z          C+ ς − z      γ+ ς −z

      П усть γ - окруж ность рад и уса ρ сцентром в точке z , тог д а ς = z+ρ e iϕ и
                    f ( ς )dς 2π f ( ς )ρie iϕ dϕ 2π
                  ∫          = ∫                 = i ∫ f (ς )dϕ ,
                     ς   −                iϕ
                 С         z   0       ρe            0
                 2π               2π                        2π
                  ∫ f ( ς )dϕ = ∫ [ f (ς ) − f ( z )]dϕ + ∫ f ( z )dϕ =
                  0                0                            0
                      2π
                 = ∫ [ f (ς ) − f (z )]dϕ + 2π f ( z ),
                      0

Страницы