Теория функций комплексной переменной. Деревягина Е - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
следовательно, левая часть равенства (1.4) стремится к определенному
конечному пределу, когда длины всех частичных дуг по произвольному закону
стремятся к нулю . Этот предел мы назовем интегралом от
(
)
dzzf вдоль линии
C
и обозначим через
(
)
∫
C
dzzf .
Итак, имеем :
(
)
∫∫∫
+
+
−
=
CCC
udyvdxivdyudxdzzf
. (1.5)
Эта формула дает выражение интеграла по комплексной переменной
через два действительных криволинейных интеграла. Формулу (1.5) легко
запомнить , если написать в таком виде:
(
)
(
)
(
)
∫∫
+
+
=
CC
idydxivudzzf .
Свойства интегралов:
1.
(
)
(
)
∫
−
=
∫
BAAB
dfdf
ς
ς
ς
ς
2.
(
)
(
)
∫∫
=
cc
dfadaf
ς
ς
ς
ς
,
a
- комплексная постоянная
3.
{
}
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
dfdfdff
ccс
)()()()(
2121
∫
+
∫
=
∫
+
4.
∫∫∫
+
=
+
2112
)()()(
cccc
dfdfdf
ς
ς
ς
ς
ς
ς
5.
∫
≤
∫
cc
dsfdf )()( ςςς ,
ds
- дифференциал длины дуги кривой С .
Действительно:
() () () ()
∫
=∆
∑
≤∆
∑
=
∫
=
∞→
→∆
=
∞→
→∆
c
i
n
i
i
n
ii
n
i
n
c
dsfffdf
ii
ςςςςςςς
ςς
1
0max
1
0max
limlim
.
Если
(
)
Mf
C
=
∈
ς
ς
max и L –длина дуги С, то
()
LMdf
C
⋅≤
∫
ςς
.
6.
(
)
(
)
[
]
(
)
∫∫
=
Γc
dfdzzf ςςϕςϕ
'
, где
(
)
ς
=
z - аналитическая функция
,
ς
устанавливающая взаимно однозначное соответствие между кривыми С и Г . В
частности ,
()()
[]
()
dttztzfdzzf
c
∫∫
=
'
β
α
,
где
(
)
tzz
=
- параметрическое задание кривой С , а
(
)
α
z и
(
)
β
z - начальная и
конечная точки кривой С . 
                                                                       13
след ователь но, левая часть равенства (1.4) стреми тся копред еленному
конечномупред елу, ког д а д ли ны всех части чны хд уг по прои зволь номузакону
стремятся кнулю. Э тотпред елмы назовем и нтег ралом от f ( z )dz вд оль ли ни и
C и обозначи м через ∫ f (z )dz .
                                            C
           И так, и меем:
                       ∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .                                                         (1.5)
                               C                    C                   C
     Э та ф ормула д ает вы раж ени е и нтег рала по комплексной переменной
через д ва д ействи тель ны х кри воли нейны х и нтег рала. Ф ормулу (1.5) лег ко
запомни ть , если напи сать в таком ви д е:
                       ∫ f (z )dz = ∫ (u + iv )(dx + idy ) .
                                        C                  C


           Св о йств а и нтегр ало в :

    1. ∫ f (ς )dς = − ∫ f (ς )dς
           AB                  BA
    2. ∫ af (ς )dς = a ∫ f (ς )dς , a - комплексная постоянная
       c                       c
    3. ∫ { f1 (ς ) + f 2 (ς )}dς = ∫ f1 (ς ) dς + ∫ f 2 (ς )dς
       с                                        c                  c
    4. ∫          f (ς )dς = ∫ f (ς ) dς + ∫ f (ς )dς
       c1 + c 2                    c1                     c2

    5. ∫ f (ς )dς ≤ ∫ f (ς ) ds , ds - д и ф ф еренци алд ли ны д уг и кри вой С .
       c                   c
    Д ействи тель но:
                                                               n                                n
                       ∫ f (ς )dς =                 lim        ∑ f (ς i )∆ς i ≤       lim      ∑ f (ς i ) ∆ς i = ∫ f (ς ) ds .
                       c                    max ∆ς i → 0 i =1                     max ∆ς i → 0 i =1              c
                                               n→∞                                   n →∞

    Е сли max f (ς ) = M и L – д ли на д уг и С , то ∫ f (ς )dς ≤ M ⋅ L .
                ς ∈C                                                              C
6. ∫ f ( z )dz = ∫ f [ϕ (ς )]ϕ (ς )dς , г д е z = ϕ (ς ) - анали ти ческая ф ункци я ς ,
                                        '
   c               Γ
устанавли вающая взаи мно од нозначноесоответстви емеж д укри вы ми С и Г . В
                                        β
частности , ∫ f ( z )dz = ∫ f [z (t )] z ' (t ) dt ,
                   c                    α
г д е z = z (t ) - параметри ческоезад ани екри вой С , а z (α ) и z (β ) - началь ная и
конечная точки кри вой С .

Страницы